X OM - I - Zadanie 9

Zawody matematyczne:

X OM, 1958-1959

Etap:

Znaleźć warunek konieczny i dostateczny, jaki mają spełniać współczynniki równania

$ (1) \qquad ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, $

aby istniały dwa różne pierwiastki tego równania mające iloczyn równy jedności.

Rozwiązanie

Zadanie rozwiążemy (w zakresie liczb rzeczywistych ) najpierw przy założeniu, że $a \ne 0$ .

Przypuśćmy, że liczby $x_1$ i $x_2 = \frac{1}{x_1}$ spełniają równanie (1), przy czym $x_2 \ne x_1$ , tzn. że $x_1 \ne 1$ i $x_1 \ne - 1$ . Podstawiając do równania (1) $x = x_1$ i $x = \frac{1}{x_1}$ , otrzymujemy równości:

$ (2) \qquad ax_1^3 + bx_1^2 + cx_1 + d_1 = 0, $

$ (3) \qquad a + bx_1 + cx_1^2 + dx_1^3 = 0. $

Dodając i odejmując te równości, otrzymujemy

$ (4) \qquad a (x_1^3 + 1) + bx_1 (x_1 + 1) + cx_1 (x_1 + 1) + d (x_1^3 + 1)=0, $

$ (5) \qquad a (x_1^3 - 1) + bx_1 (x_1 - 1) - cx_1 (x_1 - 1) - d (x_1^3 - 1)=0. $

Ponieważ $x_1 + 1 \ne 0$ i $x_1 - 1 \ne 0$ , więc z (4) i (5) wynikają równości

$ a (x_1^2 - x_1 + 1) + bx_1 + cx_1 + d (x_1^2 - x_1 + 1) = 0, $

$ a (x_1^2 + x_1 + 1) + bx_1 - cx_1 - d (x_1^2 + x_1 + 1) = 0, $

które po uporządkowaniu przybierają postać

$ (6) \qquad (a + d) x_1^2 + (- a + b + c - d) x_1 + (a + d) = 0, $

$ (7) \qquad (a-d)(x_1^2 + (a + b - c- d) x_1 + (a - d) = 0. $

Wreszcie, dodając i odejmując równości (6) i (7) otrzymujemy po uproszczeniu równości

$ (8) \qquad ax_1^2 + (b - d) x_1 + a = 0, $

$ (9) \qquad dx_1^2 + (c - a) x_1 + d = 0. $

Wykazaliśmy, że jeżeli istnieją dwa różne rozwiązania $x_1$ i $\frac{1}{x_1}$ równania (1), to liczba $x_1$ spełnia warunki (8) i (9). Odwrotnie, jeśli istnieje liczba $x_1$ różna od $1$ i od $- 1$ , która spełnia (8) i (9), to wykonując przekształcenia polegające na dodawaniu i odejmowaniu równości oraz na mnożeniu równości przez liczbę, możemy poprzedni ciąg równości przebiec w kierunku odwrotnym, skąd wnosimy, że owa liczba $x_1$ spełnia też równości (2) i (3). Ponieważ $x_1 \ne 0$ , gdyż $a \ne 0$ , więc wynik ten oznacza, że równanie (1) ma pierwiastki $x_1$ i $\frac{1}{x_1}$ , przy czym $x_1^2 \ne 1$ .

Zadanie sprowadza się więc (przy założeniu $a \ne 0$ ) do znalezienia warunku koniecznego i dostatecznego do tego, aby równania

$ (10) \qquad ax^2 + (b - d) x + a = 0, $

$ (11) \qquad dx^2 + (c - a) x + d = 0, $

miały wspólny pierwiastek różny od $1$ i od $- 1$ .

Otóż równanie (10) ma taki pierwiastek wtedy i tylko wtedy, gdy ma ono pierwiastki rzeczywiste różne, tzn. gdy zachodzi nierówność

$ (12) \qquad (b - d)^2 - 4a^2 > 0, $

z której wynika nierówność $b - d \ne 0$ .

Pomnóżmy lewe strony równań (10) i (11) odpowiednio przez $c - a$ i $b - d$ i odejmijmy te iloczyny; otrzymamy tożsamość

$ (13) \qquad (c - a) [ax^2 + (b - d) x + a] - (b - d) [dx^2 + (c - a) x + d] = [a(c - a) -d(b - d)] (x^2 + 1). $

Przypuśćmy, że warunek (12) jest spełniony i że $x_1$ jest pierwiastkiem równania (10); podstawiając $x_1$ zamiast $x$ do tożsamości (13), otrzymamy wówczas

$ (14) \qquad - (b - d) [dx_1^2 + (c - a) x_1 + d] = [a (c - a) - d (b - d)] (x_1^2 + 1). $

Ponieważ $b - d \ne 0$ i $x^2 + 1 \ne 0$ , więc z tożsamości (14) wynika, że liczba $x_1$ jest wtedy i tylko wtedy pierwiastkiem równania (11), gdy

$ (15) \qquad a(c - a) - d(b - d) = 0. $

Zatem w przypadku, gdy $a \ne 0$ , poszukiwanymi warunkami dla współczynników równania (1) są warunki (12) i (15).

Gdy $a = 0$ , równanie (1) przybiera postać

$ (1a) \qquad bx^2 + cx + d = 0. $

Jeśli $b \ne 0$ , równanie (1a) ma wtedy i tylko wtedy dwa różne pierwiastki o iloczynie $1$ , gdy spełnione są warunki

$ (16) \qquad c^2 - 4bd > 0,\ b = d. $

Gdy wreszcie i $b = 0$ , wtedy równanie ma postać

$ (1b) \qquad cx + d = 0. $

Równanie (1b) ma wtedy i tylko wtedy dwa różne pierwiastki o iloczynie $1$ , gdy jest ono tożsamością, tzn. gdy

$ c = d = 0. $

Odpowiedź na postawione zagadnienie jest zatem następująca.

Warunkiem koniecznym i dostatecznym do tego, aby istniały dwa różne pierwiastki równania

$ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $

mające iloczyn równy $1$ , jest warunek, żeby zachodził jeden z trzech przypadków

a) $a \ne 0$ , $(b - d)^2 - 4a^2 > 0$ , $a (c - a) - d (b - d) = 0$ ,

b) $a = 0$ , $b \ne 0$ , $c^2 - 4bd > 0$ , $b = d$ ,

c) $a = b = c = d = 0$ .

Uwaga. W powyższym rozwiązaniu przyjęliśmy, że współczynniki równania (1) są rzeczywiste i że chodzi o pierwiastki rzeczywiste tego równania. Rozwiązanie zadania w zakresie liczb zespolonych wymaga następującej modyfikacji przeprowadzonego rozumowania.

Stosując metodę sposobu 1 sprowadzamy zadanie, przy założeniu że $a \ne 0$ , jak poprzednio do ustalenia warunku koniecznego i dostatecznego do tego, aby równania (10) i (11) miały wspólny pierwiastek różny od $1$ i od $- 1$ .

W zakresie liczb zespolonych warunkiem koniecznym i dostatecznym do tego, aby równania (10), w którym $a \ne 0$ miało pierwiastek różny od $1$ i od $- 1$ , jest nierówność

$ (12a) \qquad (b - d)^2 - 4a^2 \ne 0. $

Przypuśćmy, że ten warunek jest spełniony i że $x_1$ jest pierwiastkiem równania (10); wówczas tak samo jak poprzednio zachodzi tożsamość

$ (14) \qquad - (b - d) [dx_1^2 + (c - a) x_1 + d] = [a (c - a) - d (b - d)] (x_1^2 + 1). $

Nie możemy jednak wywnioskować stąd nierówności (15) jak w przypadku liczb rzeczywistych, gdyż nie możemy twierdzić, że $b - d \ne 0$ i $x_1^2 + 1 \ne 0$ ; rozumujemy jak następuje.

Jeżeli $x_1$ jest pierwiastkiem równania (11), to na mocy (14)

$ [a (c - a) - d (b - d)] (x_1^2 + 1) = 0. $

Jeśli $x_1^2 + 1 \ne 0$ , otrzymujemy stąd równość

$ (15) \qquad a (c - a) - d (b - d) = 0. $

Lecz jeżeli $x_1^2 + 1 = 0$ , to też zachodzi równość (15)! Albowiem $x_1$ spełnia równania (10) i (11), a przy tym $x_1 \ne 0$ , skąd wynika, że $b - d = 0$ , $c - a = 0$ .

Odwrotnie, jeżeli zachodzi równość (15), to z tożsamości (14) otrzymujemy

$ (b - d) [dx_1^2 + (c - a) x_1 + d] = 0, $

zatem jeżeli $b - d \ne 0$ , to $x_1$ jest pierwiastkiem równania (11). Jeżeli zaś $b - d = 0$ , to $x_1$ też spełnia równanie (11), gdyż z warunku (15) i równości $b - d = 0$ wynika, że $c - a = 0$ , a z równania (10) mamy wówczas $x_1^2 + 1 = 0$ .

Okazało się więc, że poszukiwanymi warunkami koniecznymi i dostatecznymi są (12a) i (15).

Pozostała część rozumowania, odnosząca się do przypadku $a = 0$ , przebiega tak samo jak poprzednio, z tą tylko różnicą, że zamiast warunków (16) wystąpią warunki

$ (16a) \qquad c^2 - 4bd \ne 0,\ b = d. $