X OM - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

X OM, 1958-1959

Etap:

Dowieść, że jeżeli na każdym z czworokątów $ABCD$ i $CDEF$ można opisać okrąg, a proste $AB$ , $CD$ , $EF$ przecinają się w jednym punkcie $M$ , to na czworokącie $ABEF$ można opisać okrąg.

Rozwiązanie

Zastosujemy twierdzenie o siecznych okręgu przechodzących przez jeden punkt: 1° do prostych $AB$ i $CD$ , 2° do prostych $CD$ i $EF$ (rys. 16).

Otrzymujemy

$ MA \cdot MB = MC \cdot MD, $

$ MC \cdot MD = ME \cdot MF. $

Stąd

$ MA \cdot MB = ME \cdot MF. $

Z tej ostatniej równości wynika, że punkty $A$ , $B$ , $E$ , $F$ leżą na okręgu. Istotnie, wobec tej równości zachodzi proporcja $MA \colon ME = MF \colon MB$ , zatem trójkąty $AMF$ i $EMB$ o wspólnym kącie $M$ mają boki przyległe proporcjonalne, więc są podobne i $\measuredangle A = \measuredangle E$ . To zaś znaczy, że z punktów $A$ i $E$ widać odcinek $BF$ pod tym samym kątem, punkty $A$ i $E$ leżą więc na okręgu przechodzącym przez $B$ i $F$ .