X OM - I - Zadanie 11

Zawody matematyczne:

X OM, 1958-1959

Etap:

Po tej samej stronie prostej $AB$ zbudowano trzy półokręgi o średnicach $AB = a + b$ , $AC = a$ , $CB = b$ . Obliczyć promień koła wpisanego w figurę ograniczoną tymi półokręgami, mając dane $a$ i $b$ .

Rozwiązanie

Niech $O$ , $S$ , $T$ oznaczają odpowiednio środki półokręgów o średnicach $AB$ , $AC$ i $CB$ , $U$ - środek koła wpisanego w figurę ograniczoną tymi półokręgami, a $x$ - jego średnicę (rys. 17).

Długości wszystkich odcinków figury rys. 17 łatwo wyrazić w zależności od $a$ , $b$ , $x$ . Korzystając ze związku między promieniami a odległością środków kół stycznych otrzymujemy:

$ ST = \frac{1}{2}(a+b),\ SO = \frac{1}{2}(a+ b)-\frac{1}{2}a = \frac{1}{2}b,\ OT = \frac{1}{2} a, $

$ SU = \frac{1}{2}(a+ x),\ OU = \frac{1}{2}(a + b - x),\ TU = \frac{1}{2} (b + x). $

Zwróćmy uwagę na trójkąt $STU$ i odcinek $OU$ . Wiadomo, że w trójkącie pomiędzy bokami a odcinkiem poprowadzonym z jednego wierzchołka do boku przeciwległego i dzielącym ten bok w danym stosunku zachodzi związek, który wyraża tzw. twierdzenie Stewarta (Patrz Zadania z Olimpiad Matematycznych, PZWS 1956, zadanie Nr 68). Dla trójkąta $STU$ i odcinka $OU$ jest to związek