X OM - I - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

X OM, 1958-1959

Etap:

Dowieść, że, jeżeli w trójkącie $ABC$ liczby $\tg A$ , $\tg B$ i $\tg C$ tworzą postęp arytmetyczny, to liczby $\sin 2A$ , $\sin 2B$ i $\sin 2C$ tworzą również postęp arytmetyczny.

Rozwiązanie

Z założeń zadania wynika, że

$ \tg B - \tg A = \tg C - \tg B, $

zatem

$ \frac{\sin (B - A)}{\cos B \cos A} = \frac{\sin (C - B)}{\cos C \cos B}; $

stąd

$ \sin (B - A) \cos C = \sin (C - B) \cos A, $

więc

$ \sin (B - A) \cos (B + A) = \sin (C - B) \cos (C + B) $

i ostatecznie

$ \sin 2B - \sin 2A = \sin 2C - \sin 2B, $

czego należało dowieść.

Uwaga. Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne: jeżeli kąty trójkąta $ABC$ spełniają równość (2), to spełniają też równość (1). Istotnie, na podstawie przekształceń wykonanych wyżej w sposobie 1 stwierdzamy, że jeżeli zachodzi (2), to zachodzi też (2a), zatem również (la), a więc też (1). Można też skorzystać z przekształceń sposobu 2, wykonując je w odwrotnym porządku, trzeba jednak wtedy uzasadnić ostatnie przekształcenie, tzn. podzielenie równości przez $\cos A \cdot \cos B \cdot \cos C$ , wykazując, że przy założeniu (2) żaden z kątów $A$ , $B$ , $C$ nie może być prosty. Pozostawiamy to jako łatwe ćwiczenie dla czytelnika.