X OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

X OM, 1958-1959

Etap:

Przy jakiej zależności między bokami trójkąta jest on podobny do trójkąta utworzonego z jego środkowych ?

Rozwiązanie

Oznaczmy środkowe poprowadzone do boków $a$ , $b$ , $c$ trójkąta $ABC$ odpowiednio literami $m_a$ , $m_b$ , $m_c$ . Mamy zbadać, w jakich trójkątach środkowe są proporcjonalne do boków trójkąta. Należy tu przede wszystkim wziąć pod uwagę, że większa z dwóch nierównych środkowych jest poprowadzona do krótszego boku. Aby się o tym przekonać, wystarczy zastosować znane wzory na długość środkowych

$ (1) \qquad \begin{array}{c} 4m^2_a = 2b^2 + 2c^2 - a^2,\\ 4m^2_b = 2c^2 + 2a^2 - b^2,\\ 4m^2_c = 2a^2 + 2b^2 - c^2, \end{array} $

z których wynika, że na przykład

$ 4 (m^2_a - m^2_b) = 3(b^2- a^2). $

Jeśli $m_a> m_b$ , to $m^2_a > m^2_b$ , zatem według powyższego wzoru $b^2 > a^2$ , a stąd $b > a$ .

Przypuśćmy, że $a \leq b \leq c$ , w takim razie $m_c \leq m_b \leq m_a$ . Trójkąt o bokach $m_a$ , $m_b$ , $m_c$ jest wtedy i tylko wtedy podobny do trójkąta o bokach $a$ , $b$ , $c$ , gdy

$ (2) \qquad \frac{m_a}{c} = \frac{m_b}{b} = \frac{m_c}{a}. $

W zadaniu 8 udowodniliśmy, że pole trójkąta równa się $\frac{4}{3}$ pola trójkąta utworzonego z jego środkowych. Jeżeli te trójkąty są podobne, to stosunek ich pól równa się kwadratowi stosunku odpowiednich boków, zatem z uwagi na (2) jest $m^2_a = \frac{3}{4} c^2$ . Stąd na podstawie pierwszego ze wzorów (1)

$ 3c^2 = 2b^2 + 2c^2 - a^2 $

więc

$ (3) \qquad b^2 = \frac{a^2 + c^2}{2}. $

Odwrotnie, jeżeli warunek (3) jest spełniony, to trójkąt o bokach $a$ , $b$ , $c$ jest podobny do trójkąta utworzonego z jego środkowych. Istotnie, uwzględniając we wzorach (1) zależność (3), otrzymujemy

$ 4m^2_a = a^2 + c^2 + 2c^2 - a^2 = 3c^2, $

$ 4m^2_b = 4b^2 -b^2 = 3b^2, $

$ 4m^2_c = 2a^2 + a^2 + c^2 - c^2 = 3a^2, $

skąd wynika, że $m_a$ , $m_b$ , $m_c$ są proporcjonalne do $c$ , $b$ , $a$ .

Otrzymaliśmy zatem wynik następujący:

Trójkąt jest wtedy i tylko wtedy podobny do trójkąta utworzonego z jego środkowych, gdy kwadrat średniego co do długości boku trójkąta jest równy średniej arytmetycznej kwadratów najkrótszego i najdłuższego boku.

Uwaga 1. W rozwiązaniu można by nie powoływać się na zadanie 8 i wysnuć warunek (3) ze wzorów (1) i (2). Ten nietrudny rachunek proponujemy jako ćwiczenie.