X OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

X OM, 1958-1959

Etap:

Dany jest ciąg liczb $13, 25, 43, \ldots$ którego $n$ -ty wyraz jest określony wzorem

$ a_n =3(n^2 + n) + 7. $

Dowieść, że ciąg ten ma następujące własności:

1° Wśród każdych pięciu kolejnych wyrazów ciągu dokładnie jeden jest podzielny przez $5$ ,

2° Żaden wyraz ciągu nie jest sześcianem liczby całkowitej.

Rozwiązanie

1° Zauważmy, że tezę twierdzenia można tak wypowiedzieć: w danym ciągu co piąty wyraz począwszy od drugiego jest podzielny przez $5$ , ale żaden inny nie jest podzielny przez $5$ . Znaczy to, że $a_n$ jest podzielne przez $5$ wtedy i tylko wtedy, gdy $n = 2 + 5k$ , co daje $n - 2 = 5k$ . To spostrzeżenie naprowadza na myśl, żeby zmienić numerację ciągu, podstawiając $n = 2 + m$ , przy czym $m$ ma przybierać wartości $-1, 0, 1, 2, 3, \ldots$ Wówczas

$ a_n = 3(m + 2)^2 + 3(m + 2) + 7 = 3m^2 + 15 m + 25. $

Ponieważ $15 m + 25$ jest przy całkowitym $m$ podzielne przez $5$ , więc z powyższej równości wynika, że $a_n$ jest wtedy i tylko wtedy podzielne przez $5$ , gdy $3 m^2$ jest wielokrotnością pięciu, co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $m$ jest podzielne przez $5$ , tzn. gdy $n = 2 + 5k$ , gdzie $k = 0, 1, 2, 3, \ldots$

2° Przeprowadzimy dowód niewprost. Przypuśćmy, że istnieje taka liczba całkowita $t$ , że

$ a_n = 3n^2 + 2n + 7 = t^3. $

Liczba $3n^2 + 3n + 7 = 3n (n + 1) + 7$ jest nieparzysta, gdyż $n (n + 1)$ jako iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych jest liczbą parzystą; wobec tego $t^3$ , a zatem również $t$ jest liczbą nieparzystą i $t = 2s + 1$ , gdzie $s$ oznacza liczbę całkowitą. Wówczas

$ 3n^2 + 3n + 7 = 8s^3 + 12s^2 + 6s + 1 $

lub

$ 3n^2 + 3n + 6 = 8s^3 + 12s^2 + 6s. $

Z tej równości wnioskujemy, że $8s^3$ , a zatem i $s$ jest podzielne przez $3$ , gdyż wszystkie pozostałe wyrazy są podzielne przez $3$ . Podstawiając $s = 3r$ otrzymujemy

$ 3n^2 + 3n + 6 = 8 \cdot 27r^3 + 12 \cdot 9 r^2 + 6 \cdot 3 r, $

a po podzieleniu przez $3$ :

$ n^2 + n + 2 = 72r^3 + 30r^2 + 6r. $

Otrzymaliśmy sprzeczność, gdyż prawa strona tej równości jest podzielna przez $3$ , a lewa nie; mianowicie $n^2 + n + 2$ daje w dzieleniu przez $3$ resztę $2$ , gdy $n$ jest postaci $3k$ lub $3k + 2$ , a resztę $1$ , gdy $n$ jest postaci $3k + 1$ .