X OM - II - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

X OM, 1958-1959

Etap:

Z punktu $M$ powierzchni kuli poprowadzono trzy wzajemnie prostopadłe cięciwy kuli $MA$ , $MB$ , $MC$ . Dowieść, że odcinek łączący punkt $M$ ze środkiem kuli przecina płaszczyznę trójkąta $ABC$ w środku ciężkości tego trójkąta.

Rozwiązanie

Płaszczyzna $AMB$ przecina powierzchnię kuli wzdłuż okręgu, który przechodzi przez punkty $A$ , $M$ i $B$ , czyli jest okręgiem opisanym na trójkącie prostokątnym $AMB$ ; środek tego okręgu leży zatem w środku $K$ odcinka $AB$ (rys. 25).

Środek $O$ kuli leży na prostopadłej wystawionej w punkcie $K$ do płaszczyzny $AMB$ po tej samej stronie płaszczyzny $AMB$ co punkt $C$ . Ponieważ prosta $MC$ jest prostopadła do płaszczyzny $AMB$ , więc proste $KO$ i $MC$ leżą - jako równoległe - w jednej płaszczyźnie. Odcinki $MO$ i $KC$ są przekątnymi trapezu $MKOC$ , przecinają się zatem w pewnym punkcie $S$ . Okazało się więc, że odcinek $MO$ przecina środkową $KC$ trójkąta $ABC$ . Tak samo przecina on każdą z pozostałych środkowych trójkąta $ABC$ , a ponieważ odcinek $MO$ nie leży w płaszczyźnie $ABC$ , więc stąd wynika, że przechodzi on przez środek ciężkości trójkąta $ABC$ .