X OM - III - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

X OM, 1958-1959

Etap:

III

Dowieść, że dla dowolnych liczb $a$ i $b$ zachodzi nierówność

$ (1) \qquad \frac{a+b}{2} \cdot \frac{a^2+b^2}{2} \cdot \frac{a^3+b^3}{2} \leq \frac{a^6+b^6}{2}. $

Rozwiązanie

Udowodnimy najpierw, że

$ (2) \qquad \frac{a + b}{2} \cdot \frac{a^3 + b^3}{2} \leq \frac{a^4 + b^4}{2}. $

Nierówność (2) jest równoważna nierówności

$ (3) \qquad 2(a^4 + b^4) - (a+b) (a^3 + b^3) \geq 0. $

Otóż

$ \begin{split} 2(a^4 + b^4) - (a + b) (a^3 + b^3) &= a^4 - a^3b - ab^3 + b^4 = \\ &= a^3(a-b) - b^3 (a - b) =\\ &= (a - b) (a^3 - b^3) =\\ &= (a - b)^2 (a^2 + ab + b^2). \end{split} $

Widzimy, że lewa strona nierówności (3) jest iloczynem dwóch czynników nieujemnych; nierówność (3) a zatem, i (2) jest prawdziwa. Udowodnimy z kolei nierówność

$ (4) \qquad \frac{a^2 + b^2}{2} \cdot \frac{a^4 + b^4}{2} \leq \frac{a^6 + b^6}{2}; $

jest ona równoważna nierówności

$ (5) \qquad 2(a^6 + b^6) - (a^2 + b^2) (a^4 + b^4) \geq 0. $

Przekształcamy lewą stronę nierówności (5):

$ \begin{split} 2(a^6 + b^6) - (a^2 + b^2) (a^4 + b^4) &= a^6 - a^4b^2 - a^2b^4 + b^6 =\\ &= (a^4 - b^4) (a^2 - b^2) =\\ &= (a^2 + b^2) (a^2 - b^2)^2; \end{split} $

otrzymaliśmy, jak poprzednio, iloczyn dwóch czynników nieparzystych, nierówność (5), a zatem i (4) jest więc prawdziwa.

Z nierówności (2) i (4) wynika natychmiast nierówność (1).

Uwaga. Sposób 1 ma tę wyższość nad 2, że metoda w nim użyta może być też zastosowana w wielu innych przypadkach. Mianowicie wzory (2) i (4), które posłużyły do dowodu nierówności (1) są przypadkami szczególnymi następującego twierdzenia:

Jeżeli $a$ i $b$ są dowolnymi liczbami, a $m$ i $n$ - liczbami naturalnymi tej samej parzystości (tzn. $m + n =$ liczbie parzystej), to

$ \nr{\alpha} \frac{a^m + b^m}{2} \cdot \frac{a^n + b^n}{2} \leq \frac{a^{m+n} + b^{m+n}}{2}. $

Dla dowodu zastępujemy powyższą nierówność przez nierówność równoważną

$ 2(a^{m+n} + b^{m+n}) - (a^m + b^m) (a^n + b^n) \geq 0, $

którą po przekształceniu lewej strony możemy napisać w postaci

$ \nr{\beta} (a^m - b^m) (a^n - b^n) \geq 0. $

Aby udowodnić nierówność $(\beta)$ , skorzystamy z założenia, że $m$ i $n$ są tej samej parzystości i rozróżnimy dwa przypadki:

a) $m$ i $n$ są nieparzyste.

Ponieważ potęga o wykładniku nieparzystym rośnie wraz z podstawą potęgi, więc jeśli $a \geq b$ , to $a^m \geq b^m$ i $a^n \geq b^n$ , a jeśli $a < b$ , to $a^m < b^m$ i $a^n < b^n$ , zachodzi zatem zawsze nierówność $(\beta)$ . Można to wykazać np. w sposób następujący. Niech $a > b$ ; jeżeli $a > 0$ , $b \geq 0$ , to $a^m > b^m$ dla każdego naturalnego $m$ ; jeżeli $a > 0$ , $b < 0$ , to przy nieparzystym $m$ jest $a^m > 0$ , $b^m < 0$ , więc $a^m > b^m$ ; jeżeli $a \leq 0$ , to $b < 0$ , więc $- b > - a \geq 0$ , skąd $(- b)^m > (- a)^m$ , co przy nieparzystym $m$ daje $- b^m > - a^m$ , zatem $a^m > b^m$ .

b) $m$ i $n$ są parzyste, $m = 2k$ , $n =2l$ , gdzie $k$ i $l$ są liczbami naturalnymi.

Jeżeli $a^2 \geq b^2$ , to

$ (a^2)^k \geq (b^2)^k \textrm{ i } (a^2)^l \geq (b^2)^l, $

czyli

$ a^m \geq b^m \textrm{ i } a^n \geq b^n, $

więc zachodzi nierówność $(\beta)$ .

Jeżeli $a^2 < b^2$ , to

$ (a^2)^k < (b^2)^k \textrm{ i } (a^2)^l < (b^2)^l, $

skąd

$ a^m < b^m \textrm{ i } a^n < b^n, $

więc i w tym przypadku zachodzi nierówność (8).

Zauważmy, że jeżeli $a$ i $b$ są liczbami nieujemnymi, to nierówność ( $\alpha$ ) zachodzi dla dowolnych naturalnych wykładników $m$ i $n$ . Istotnie, w zakresie liczb nieujemnych każda potęga o wykładniku naturalnym jest funkcją rosnącą podstawy, więc nierówność (8) zachodzi dla dowolnych naturalnych $m$ i $n$ .