X OM - III - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

X OM, 1958-1959

Etap:

III

Dany jest ostrosłup o podstawie kwadratowej $ABCD$ i o wierzchołku $S$ . Znaleźć najkrótszą drogę, której początkiem i końcem jest punkt $S$ i która przechodzi przez wszystkie wierzchołki podstawy.

Rozwiązanie

Niech $a$ oznacza długość boku kwadratu $ABCD$ ; długości krawędzi bocznych ostrosłupa oznaczymy literami $k$ , $l$ , $m$ , $n$ w ten sposób, żeby było $k \leq l \leq m \leq n$ .

Każdą drogę zaczynającą się i kończącą w punkcie $S$ oraz przechodzącą przez wszystkie wierzchołki kwadratu możemy zapisać symbolicznie w postaci

$ (1) \qquad S \ldots W_1 \ldots W_2 \ldots W_3 \ldots W_4 \ldots S, $

gdzie $W_1, W_2, W_3, W_4$ oznaczają wierzchołki $A$ , $B$ , $C$ , $D$ wzięte w pewnej kolejności. Część drogi od $S$ do $W_1$ nie może być krótsza od krawędzi $SW_1$ , a część drogi od $W_4$ do $S$ nie może być krótsza od krawędzi $SW_4$ . Obie te części drogi razem nie mogą mieć długości mniejszej niż suma dwóch najkrótszych krawędzi bocznych, tj. niż $k + l$ . Część drogi od $W_1$ do $W_2$ nie może być krótsza niż bok kwadratu, tj. niż $a$ ; to samo dotyczy drogi od $W_2$ do $W_3$ i od $W_3$ do $W_4$ . Cała droga (1) nie może być zatem krótsza niż

$ k + l + 3a. $

Jeśli więc znajdziemy taką drogę, której długość równa się właśnie $k + l+ 3a$ , będzie to droga najkrótsza. W tym celu wyznaczymy dwie najkrótsze krawędzie boczne ostrosłupa.

Poprowadźmy $4$ osie symetrii kwadratu $ABCD$ (rys. 31). Dzielą one płaszczyznę kwadratu na $8$ obszarów kątowych $\textrm{I}-\textrm{VIII}$ . Rzut $O$ wierzchołka $S$ ostrosłupa na płaszczyznę kwadratu leży wewnątrz lub na brzegu jednego z tych obszarów, dajmy na to obszaru $\textrm{I}$ . Na podstawie własności symetralnej odcinka zachodzą wówczas nierówności

$ OA \leq OB \leq OD \leq OC. $

Zatem $OA$ i $OB$ są dwoma najkrótszymi spośród odcinków $OA$ , $OB$ , $OC$ , $OD$ . W takim razie $SA$ i $SB$ są dwiema najkrótszymi krawędziami ostrosłupa (krótszemu rzutowi odpowiada krótsza pochyła), mianowicie $SA = k$ , $SB = l$ , z czego wynika, że droga $SADCBS$ , której długość $SA + AD + DC + CB + BS = k + l + 3a$ jest poszukiwaną drogą najkrótszą.

Gdy punkt $O$ leży na półprostej $MA$ , ale nie pokrywa się ze środkiem $M$ kwadratu, są dwie drogi najkrótsze $SADCBS$ i $SABCDS$ . Gdy wreszcie punkt $O$ pokrywa się z punktem $M$ , są cztery takie drogi. Każdą drogę można oczywiście przebiegać w dwóch kierunkach.