X OM - III - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

X OM, 1958-1959

Etap:

III

Dowieść, że jeżeli równanie kwadratowe

$<br /> (1) \qquad ax^2 + bx + c = 0<br />$

o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek wymierny, to co najmniej jedna z liczb $a$ , $b$ , $c$ jest parzysta.

Rozwiązanie

\spos{1} Załóżmy, że liczba $\frac{p}{q}$ , gdzie $p$ i $q$ oznaczają liczby całkowite pierwsze względem siebie, jest pierwiastkiem równania (1). Po podstawieniu $x = \frac{p}{q}$ do równania (1) i pomnożeniu przez $q^2$ otrzymujemy

$<br /> (2) \qquad ap^2 + bpq + cq^2 = 0.<br />$

Zauważmy, że suma liczb całkowitych $ap^2$ , $bpq$ i $cq^2$ może być tylko wtedy równa zeru, gdy każda z tych liczb jest parzysta lub gdy jedna jest parzysta a dwie nieparzyste.

Może zajść jeden z trzech przypadków.

a) $p$ i $q$ są liczbami nieparzystymi. Wówczas liczby $a$ , $b$ , $c$ nie mogą być wszystkie trzy nieparzyste, gdyż wtedy $ap^2$ , $bpq$ , $cq^2$ byłyby liczbami nieparzystymi i równość (2), jak zauważyliśmy, byłaby niemożliwa.

b) $p$ jest liczbą parzystą, a $q$ - nieparzystą. W tym przypadku $ap^2$ i $bpq$ są liczbami parzystymi, zatem $cq^2$ musi być też z uwagi na (2), liczbą parzystą, a że $q$ jest nieparzyste, więc $c$ musi być liczbą parzystą.

c) $p$ jest liczbą nieparzystą, a $q$ - parzystą. Analogicznie, jak w punkcie b) wnioskujemy, że w tym przypadku $a$ musi byc liczbą parzystą.