X OM - III - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

X OM, 1958-1959

Etap:

III

Dany jest trójkąt, w którym boki $a$ , $b$ , $c$ tworzą postęp arytmetyczny, a kąty tworzą też postęp arytmetyczny. Znaleźć stosunki boków tego trójkąta.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że trójkąt $ABC$ spełnia warunki zadania, przy czym $A \leq B \leq C$ , wobec czego $a \leq b \leq c$ . W takim razie

$ (1) \qquad B = \frac{1}{2} (A + C), $

$ (2) \qquad b = \frac{1}{2} (a + c). $

Z równości (1) oraz z równości $A + B + C = \pi$ wynika, że $B= \frac{\pi}{3}$ ; twierdzenie cosinusów daje wobec tego związek

$ (3) \qquad b^2 = a^2 + c^2 - ac. $

Rugując $b$ z równań (2) i (3) otrzymujemy

$ (4) \qquad (a - c)^2 = 0. $

Z (2) i (4) wynika, że

$ a = b = c. $

Jeżeli zatem zarówno boki jak kąty trójkąta tworzą postęp arytmetyczny, to trójkąt ten jest równoboczny.