IX OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

IX OM, 1957-1958

Etap:

Dowieść, że jeżeli każda z funkcji

$(1) \qquad (a_1x + b_1)^2 + (a_2x + b_2)^2,$

$(2) \qquad (b_1x + c_1)^2 + (b_2x + c_2)^2$

jest kwadratem funkcji liniowej nie będącej stałą, to funkcja

$(3) \qquad (c_1x + a_1)^2 + (c_2x + a_2)^2$

jest kwadratem funkcji liniowej.

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że jeśli funkcja $Ax^2 + 2Bx + C$ jest kwadratem funkcji liniowej $mx + n$ , to jej wyróżnik znika, czyli $B^2 - AC = 0$ . Istotnie, z tożsamości $Ax^2 + 2Bx + C = m^2x^2 + 2mnx + n^2$ wynika, że $B^2 - AC = (mn)2 - m^2n^2 = 0$ .

Odwrotnie, jeśli $B^2 - AC = 0$ i $C > 0$ , to funkcja $Ax^2 + 2Bx + C$ jest kwadratem funkcji liniowej. Albowiem gdy $A \ne 0$ , to z warunków $B^2 = AC$ i $C > 0$ wynika, że $A > 0$ , zatem

$ Ax^2+ 2Bx + C = \frac{1}{A} (A^2x^2 + 2ABx + B^2) = \frac{1}{A} (Ax + B)^2 = \left( \frac{Ax+B}{\sqrt{A}} \right)^2, $

gdy zaś $A = 0$ , to $B= 0$ i

$ Ax^2 + 2Bx + C = C = (\sqrt{C})^2. $

Funkcję (1) możemy napisać w postaci

$ (a_1^2 + a_2^2)x^2 + 2 [a_1b_1 + a_2b_2) x + (b_1^2 + b_2^2). $

Wyróżnik tej funkcji,

$ 4 [(a_1b_1 + a_2b_2)^2 - (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2)] = - 4 (a_1b_2 - a_2b_1)^2, $

jest w myśl powyższej uwagi równy zeru, więc

$ (4) \qquad a_1b_2 - a_2b_1 = 0. $

Podobnie dla funkcji (2)

$ (5) \qquad b_1c_2 - b_2c_1 = 0. $

Rugując z (4) i (5) kolejno $b_2$ i $b_1$ , otrzymujemy

$ (6) \qquad (a_1c_2 - a_2c_1)b_1 = 0, $

$ (7) \qquad (a_1c_2 - a_2c_1)b_2 = 0. $

Ponieważ funkcja (2) nie jest stała, więc przynajmniej jedna z liczb $b_1$ i $b_2$ jest różna od zera, wobec czego z równań (6) i (7) wynika, że

$ (8) \qquad a_1c_2 - a_2c_1 = 0. $

Z równości (8) wynika, że funkcja (3), tj. funkcja

$ (c_1^2 + c_2^2) x^2 + 2 (a_1c_1 + a_2c_2) x + (a_1^2 + a_2^2) $

ma wyróżnik równy zeru, gdyż wyróżnik ten równa się $- 4 (a_1c_2 - a_2c_1)^2$ . Wyraz stały $a_1^2 + a_2^2$ tej funkcji nie może być równy zeru, gdyż wówczas byłoby $a_1 = 0$ , $a_2 = 0$ wbrew założeniu, że funkcja (1) nie jest stała. W takim razie $a_1^2 + a_2^2 > 0$ , skąd w myśl uwagi wymienionej na wstępie wnioskujemy, że funkcja (3) jest kwadratem funkcji liniowej.