XLVIII MOM - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XLVIII MOM, 2007

Dane są liczby rzeczywiste $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ , $a_n$ . Dla każdego $i$ ( $1\le i\le n$ ) określamy

$ d_i=\max\{a_j:1\le j\le i\}-\min\{a_j:i\le j\le n\} $

oraz

$ d=\max\{d_i:1\le i\le n\}. $

Dowieść, że dla każdych liczb rzeczywistych $x_1\le x_2\le\ldots\le x_n$ spełniona jest nierówność

$ \max\{|x_i-a_i|:1\le i\le n\}\ge{d\over 2}.\leqno(*) $
Wykazać, że istnieją takie liczby rzeczywiste $x_1\le x_2\le\ldots\le x_n$ , dla których nierówność $(*)$ staje się równością.

Rozwiązanie

Z określenia liczby $d$ wynika, że istnieje wskaźnik $q\in\{1,2,\ldots,n\}$ , dla którego $d=d_q$ . Niech ponadto wskaźniki $p$ i $r$ ( $1\le p\le q\le r\le n$ ) spełniają warunki

$ a_p=\max\{a_j:1\le j\le q\},\qquad a_r=\min\{a_j:q\le j\le n\}. $

Wówczas prawdziwa jest równość $d=a_p-a_r$ .

Jeżeli teraz $x_1\le x_2\le\ldots\le x_n$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, to na mocy nierówności $x_r-x_p\ge 0$ otrzymujemy

$ (a_p-x_p)+(x_r-a_r)=(a_p-a_r)+(x_r-x_p)\ge a_p-a_r=d. $

Wynika stąd, że przynajmniej jedna z liczb $a_p-x_p$ , $x_r-a_r$ jest nie mniejsza niż $d/2$ . Tym bardziej jedna z liczb $|x_p-a_p|$ , $|x_r-a_r|$ jest nie mniejsza niż $d/2$ i w konsekwencji uzyskujemy

$ \max\{|x_i-a_i|:1\le i\le n\}\ge\max\{|x_p-a_p|,|x_r-a_r|\}\ge{d\over 2}, $

co dowodzi tezy punktu (a).
Wykażemy, że żądane własności mają następujące liczby:

$ x_1=a_1-{d\over 2} \qquad\hbox{oraz}\qquad x_k=\max\Bigl\{x_{k-1},a_k-{d\over 2}\Bigr\}\quad\hbox{dla }k=2,3,\ldots,n. $

Z powyższego określenia wynika, że dla $k=2,3,\ldots,n$ zachodzi nierówność $x_{k-1}\le x_k$ ; otrzymujemy stąd ciąg nierówności $x_1\le x_2\le\ldots\le x_n$ . Również na mocy tego określenia uzyskujemy

$ x_k-a_k\ge-{d\over 2}\qquad\hbox{dla }k=1,2,\ldots,n. $

Ustalmy teraz wskaźnik $k\in\{1,2,\ldots,n\}$ oraz niech $m$ będzie najmniejszym takim wskaźnikiem, że $x_m=x_k$ . Wówczas jeśli $m>1$ , to prawdziwa jest nierówność $x_m>x_{m-1}$ , co oznacza, że

$ x_k=x_m=a_m-{d\over 2}. $

Jest jasne, że powyższa równość ma miejsce także w przypadku, gdy $m=1$ . Możemy zatem napisać

$ a_m-a_k\le \max\{a_j:1\le j\le k\}-\min\{a_j:k\le j\le n\}= d_k\le d, $

skąd wnioskujemy, że

$ x_k-a_k=(x_k-a_m)+(a_m-a_k)=-{d\over 2}+(a_m-a_k)\le{d\over 2}. $

Udowodniliśmy w ten sposób, iż

$ -{d\over 2}\le x_k-a_k\le {d\over 2}\qquad\hbox{dla }k=1,2,\ldots,n, $

czyli

$ \max\{|x_i-a_i|:1\le i\le n\}\le{d\over 2}. $

Ponieważ jednak $|x_1-a_1|=d/2$ , więc w powyższej nierówności ma miejsce równość. To kończy rozwiązanie części (b).