IX OM - I - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

IX OM, 1957-1958

Etap:

Obliczyć sumę

$ 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + \ldots + n(n + 1) (n + 2). $

Rozwiązanie

Wyraz $k$ -ty danej sumy równa się

$ k (k + 1) (k + 2) = k^3 + 3k^2 + 2k. $

Podstawmy w tej równości za $k$ kolejno $1, 2, 3, \ldots, n$ ; otrzymamy

$1 \cdot 2 \cdot 3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1,$

$2 \cdot 3 \cdot 4 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2,$

$3 \cdot 4 \cdot 5 = 3^3 + 3 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3,$

$\ldots$

$n (n + 1) (n + 2) = n3 + 3n^2 + 2n.$

Dodając te równości stronami, otrzymujemy

$ s = (1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3) + 3 (1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2) + 2 (1 + 2 + 3 + \ldots + n), $

gdzie $s$ oznacza obliczaną sumę. Wiadomo, że

$1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{1}{2} n(n+1),$

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{1}{6} n (n + 1) (2n + 1),$

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = \frac{1}{4} n^2 (n + 1)^2,$

wobec czego

$ s = 2 \cdot \frac{1}{2} n (n + 1) + 3 \cdot \frac{1}{6} n(n + 1) (2n + 1) + \frac{1}{4} n^2 (n + 1)^2, $

skąd po uproszczeniu otrzymujemy

$ s = \frac{1}{4} n (n + 1) (n + 2) (n + 3). $