IX OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

IX OM, 1957-1958

Etap:

Od trójkąta $ABC$ odcięto trzy trójkąty narożne prostymi równoległymi do boków trójkąta i stycznymi do kola wpisanego w ten trójkąt. Dowieść, że suma promieni kół wpisanych w trójkąty odcięte równa się promieniowi koła wpisanego w trójkąt $ABC$ .

Rozwiązanie

Niech $r$ oznacza promień koła wpisanego w trójkąt $ABC$ , $S$ - jego pole, $r_1$ , $r_2$ , $r_3$ - promienie kół wpisanych w trójkąty narożne, leżące odpowiednio przy wierzchołkach $A$ , $B$ , $C$ , wreszcie $a$ , $b$ , $c$ - boki trójkąta przeciwległe tym wierzchołkom oraz $h_a$ , $h_b$ , $h_c$ - wysokości opuszczone na te boki.

Stosunek promienia koła wpisanego w jeden z trójkątów narożnych do promienia koła wpisanego w $\triangle ABC$ równa się stosunkowi wysokości obu trójkątów, gdyż są to trójkąty podobne. Zważywszy, że wysokości trójkątów narożnych są równe odpowiednio $h_a - 2r$ , $h_b - 2r$ i $h_c - 2r$ , uzyskujemy proporcję