IX OM - I - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

IX OM, 1957-1958

Etap:

Dany jest odcinek $AH$ i na nim punkt $M$ ; zbudować trójkąt $ABC$ w ten sposób, żeby odcinek $AH$ był jedną z wysokości trójkąta $ABC$ , a punkt $M$ - środkiem jednej z pozostałych wysokości.

Rozwiązanie

Niech $AH$ i $CL$ będą wysokościami trójkąta $ABC$ , przy czym $CM = ML$ (rys. 4). Odmierzmy na $MA$ odcinek $MN = HM$ . Trójkąt $LMN$ jest przystający do trójkąta $CMH$ ( $ML = CM$ , $MN = HM$ , $\measuredangle LMN = \measuredangle CMH$ ), zatem $\measuredangle MNL = \measuredangle MHC = 90^\circ$ . W trójkącie prostokątnym $ALM$ znamy przeciwprostokątną $AM$ i rzut $NM$ przyprostokątnej $LM$ na przeciwprostokątną, trójkąt $ALM$ potrafimy więc zbudować. Konstrukcja jest następująca.

Rysujemy okrąg o średaicy $AM$ . W punkcie $N$ odcinka $AM$ ( $NM = MH$ ) prowadzimy prostopadłą do prostej $AH$ . Jeśli ta prostopadła przecina okrąg w punkcie $L$ , prowadzimy proste $AL$ , $LM$ oraz prostą prostopadłą do prostej $AH$ w punkcie $H$ , która przetnie proste $AL$ i $LM$ odpowiednio w punktach $B$ i $C$ . Trójkąt $ABC$ spełnią warunki zadania, gdyż według konstrukcji jest $AH \bot BC$ , $CL \bot AB$ , $\measuredangle CMH = \measuredangle LMN$ , skąd $CM = ML$ .

Konstrukcja jest wykonalna, jeśli punkt $N$ leży wewnątrz okręgu o średnicy $AM$ , tj. jeśli $MH < AM$ i otrzymuje się dwa rozwiązania symetryczne względem $AH$ .