IX OM - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

IX OM, 1957-1958

Etap:

Dowieść, że liczba

$ 53^{103} + 103^{53} $

jest podzielna przez $78$ .

Rozwiązanie

Zauważmy, że w rozwinięciu potęgi $(a \pm 1)^n$ , gdzie $a$ i $n$ oznaczają liczby naturalne, wszystkie wyrazy prócz ostatniego są podzielne przez $a$ , a wyraz ostatni równa się $(\pm 1)^m$ . Wobec tego

$ 53^{103} = (54 - 1)^{103} = m \cdot 54 - 1, $

$ 103^{53} = (102 + 1)^{53} = n \cdot 102 + 1. $

Stąd

$ 53^{103} + 103^{53} = m \cdot 54 + n \cdot 102. $

Liczba $53^{103} + 103^{53}$ jest zatem podzielna przez $6$ .

Podobnie

$ 53^{103} = (52 + 1)^{103} = p \cdot 52 + 1, $

$ 103^{53} = (104 - 1)^{53} = q \cdot 104 - 1, $

$ 53^{103} + 103^{53} = p \cdot 52 + q \cdot 104, $

liczba $53^{103} + 103^{53}$ jest więc podzielna przez $52$ .

Z powyższego wynika, że liczba $53^{103} + 103^{53}$ jest podzielna przez najmniejszą wspólną wielokrotną liczb $6$ i $52$ , tj. przez $156$ , zatem również przez $78$ .

Udało nam się udowodnić twierdzenie mocniejsze od tego, które było sformułowane w tekście zadania.