IX OM - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

IX OM, 1957-1958

Etap:

Dowieść, że jeżeli liczby $a$ , $b$ , $c$ , $d$ spełniają warunki

$ ac - bd \ne 0 \textrm{ i } (a^2 - b^2) (c^2 - d^2) < 0, $

to funkcja

$ (1) \qquad y = \frac{(ax + b) (cx + d)}{(bx + a) (dx + c)} $

przybiera wszystkie wartości rzeczywiste.

Rozwiązanie

Z nierówności, które spełniają $a$ , $b$ , $c$ , $d$ wynika, że równanie (1) jest równoważne równaniu

$ (bx + a) (dx + c) y = (ax + b) (ex + d), $

skąd po uporządkowaniu otrzymujemy równanie

$ (2) \qquad (ac - bdy)x^2 + (ad + bc) (1 - y)x + (bd - acy) = 0. $

Należy udowodnić, że równanie (2) ma dla każdej wartości $y$ przynajmniej jeden pierwiastek $x$ .

Zależnie od obranej wartości $y$ rozróżnimy $2$ przypadki:

a) $ac - bdy \ne 0$ .

Równanie (2) jest wówczas stopnia drugiego i należy wykazać, że jego wyróżnik $\Delta$ nie jest ujemny. Otóż

$ \begin{split} \Delta & = (ad + bc)^2 (1 - y)^2 - 4 (ac - bdy) (bd - acy) = [(ad + bc)^2 - 4 abcd] y^2 + \\ & - 2 [(ad + bc)^2 - 2a^2c^2 - 2b^2d^2]y + [(ad + bc)^2 - 4 abcd] =\\ & = (ad - bc)^2y^2 + 2 [(a^2 - b^2) (c^2 - d^2) + (ac - bd)^2]y + (ad-bc)^2. \end{split} $

Zauważmy, że w powyższym wyrażeniu współczynnik przy $y^2$ równa się

$ \begin{split} (ad - bc)^2 & = a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2 = (ac - bd)^2 + a^2d^2 + b^2c^2 - a^2c^2 - b^2d^2 = \\ & = (ac - bd)^2 + (a^2 - b^2) (d^2 - c^2); \end{split} $

według przyjętych założeń wynika stąd, że

$ (ad - bc)^2 > 0, \textrm{ czyli }ad - bc \ne 0, $

wyróżnik $\Delta$ jest zatem funkcją kwadratową zmiennej $y$ . Zbadamy znak wyróżnika $\delta$ tej funkcji. Obliczamy

$ \begin{split} \delta &= 4 \{[(a^2 - b^2) (c^2 - d^2) + (ac - bd)^2]^2 - (ad - bc)^4\} =\\ &= 4 [(a^2 - b^2) (c^2 - d^2) + (ac - bd)^2 + (ad - bc)^2] \cdot \\ &\quad \cdot [(a^2 - b^2) (c^2 - d^2) + (ac - bd)^2 - (ad - bc)^2] =\\ &= 4 [2a^2c^2 - 4abcd + 2b^2d^2] [2 (a^2c^2 - a^2d^2 - b^2c^2 + b^2d^2)] =\\ &= 16 (ac - bd)^2 (a^2 - b^2) (c^2 - d^2). \end{split} $

Z przyjętych założeń wynika, że $\delta < 0$ . Funkcja $\Delta(y)$ ma zatem stały znak, a ponieważ jej współczynnik przy $y^2$ jest dodatni, zatem $\Delta(y) > 0$ dla każdego $y$ . Stąd wynika, że równanie (2) ma dla każdego $y$ spełniającego warunek a) dwa pierwiastki.

b) $ac - bdy = 0$ .

Wartość $y$ spełniająca warunek b) istnieje tylko wówczas, gdy $bd \ne 0$ ; jest nią liczba $y = \frac{ac}{bd}$ . Podstawmy tę wartość do równania (2); po pomnożeniu przez mianownik $bd$ otrzymujemy równanie

$ (ad + bc) (bd - ac) x + b^2d^2 - a^2c^2 = 0, $

które wobec warunku $ac - bd \ne 0$ jest równoważne równaniu

$ (3) \qquad (ad + bc) x + bd + ac = 0. $

Współczynnik $ad + bc$ jest wobec przyjętych założeń różny od zera. Istotnie, gdyby zachodziła równość $ad + bc = 0$ , to byłoby również $(ad + bc)^2 = 0$ ; dodając tę ostatnią równość stronami do nierówności $(a^2 - b^2) (c^2 - d^2) < 0$ , otrzymalibyśmy, jak łatwo sprawdzić, nierówność fałszywą $(ac + bd)^2 < 0$ .

Równanie (3) ma zatem rozwiązanie

$ x = - \frac{bd + ac}{ad + bc}. $

Streśćmy uzyskane wyniki. Funkcja zmiennej $x$ określona wzorem (1), gdzie współczynniki $a$ , $b$ , $c$ , $d$ spełniają założenia podane w tekście zadania, przybiera, w przypadku gdy $bd \ne 0$ , każdą obraną wartość rzeczywistą $y$ dwukrotnie, z wyjątkiem wartości $y = \frac{ac}{bd}$ , którą przybiera tylko jeden raz. W przypadku gdy $bd = 0$ , funkcja (1) każdą wartość bez wyjątku przybiera dwa razy.

Na przykład funkcja $\frac{(x-3))2x-1)}{(1-3x)(2 - x)}$ , której wykres naszkicowany jest na rys. 5, przybiera każdą wartość $2$ razy z wyjątkiem wartości $\frac{2}{3}$ , którą przybiera tylko dla $x = \frac{5}{7}$ .

Funkcja $\frac{x (x - 2)}{1 - 2x}$ przedstawiona na rys. 6 przybiera każdą wartość bez wyjątku 2 razy.