IX OM - I - Zadanie 7

Zawody matematyczne:

IX OM, 1957-1958

Etap:

Dowieść, że jeżeli figura płaska o rozmiarach skończonych ma środek symetrii $O$ i oś symetrii $s$ , to punkt $O$ leży na prostej $s$ .

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że twierdzenie nie jest prawdziwe, tzn. że istnieje figura $F$ o rozmiarach skończonych mająca oś symetrii $s$ i nie leżący na prostej $s$ środek symetrii $O$ . Niech $OS = d$ (rys. 7) oznacza odległość punktu $O$ od prostej $s$ i niech $A_1$ będzie dowolnym punktem figury $F$ oraz $A_1T = a$ jego odległością od prostej $s$ . Punkt $A_2$ symetryczny do $A_1$ względem prostej $s$ należy również do figury $F$ ; oznaczenia możemy oczywiście dobrać w ten sposób, żeby punkt $A_2$ znajdował się po przeciwnej stronie prostej $s$ niż punkt $O$ . Weźmy pod uwagę dwa dalsze punkty figury $F$ , mianowicie punkt $A_3$ symetryczny do $A_2$ względem punktu $O$ oraz punkt $A_4$ symetryczny do $A_3$ względem prostej $s$ . Niech $R$ oznacza punkt przecięcia prostej $A_3A_4$ z osią $s$ , a $U$ - punkt przecięcia prostej $A_2S$ z prostą $A_3A_4$ .

Zauważmy, że odcinek $A_3U$ jest jednokładny do odcinka $OS$ względem punktu $A_2$ w skali $A_2A_3 \colon A_2O = 2$ , a odcinek $UR$ - symetryczny do odcinka $A_2T$ względem punktu $S$ . Wobec tego $A_3U = 2d$ , $UR = a$

$<br /> A_3R = a + 2d.<br />$

Okazało się, że jeśli na figurze $F$ znajduje się punkt odległy od osi $s$ o $a$ , to znajduje się na niej również punkt odległy od tej osi o $a + 2d$ . Przez indukcję wnioskujemy stąd, że na figurze $F$ istnieje wówczas punkt odległy od osi $s$ o $a + 2nd$ , gdzie $n$ oznacza dowolną liczbę naturalną. W takim razie figura $F$ nie może mieć rozmiarów skończonych (inaczej mówiąc nie może być ograniczona) wbrew założeniu. Zaprzeczenie tezy naszego twierdzenia doprowadziło do sprzeczności, zatem twierdzenie zostało udowodnione.