IX OM - I - Zadanie 8

Zawody matematyczne:

IX OM, 1957-1958

Etap:

Jaką figurą płaską jest przekrój sześcianu o krawędzi $a$ płaszczyzną przechodzącą przez środki trzech krawędzi parami skośnych?

Rozwiązanie

Każda krawędź sześcianu spotyka cztery inne krawędzie, jest równoległa do trzech dalszych, a skośna do czterech pozostałych parami równoległych krawędzi. Jeżeli obierzemy dowolnie jedną krawędź sześcianu $ABCDA'B'C'D'$
(rys. 8), np. $AB$ , to dwie inne krawędzie skośne do $AB$ i do siebie możemy dobrać dwoma sposobami: $AB$ , $CC_1$ , $A_1D_1$ lub $AB$ , $B_1C_1$ , $DD_1$ .

Ponieważ te dwie trójki krawędzi są symetryczne względem płaszczyzny symetralnej krawędzi $AB$ , więc to samo dotyczy przekrojów sześcianu płaszczyznami przechodzącymi przez środki krawędzi każdej trójki i wystarczy rozpatrzyć jeden z nich. Wyznaczymy przekrój sześcianu płaszczyzną poprowadzoną przez środki $M$ , $N$ , $P$ krawędzi $AB$ , $CC_1$ , $A_1D_1$ .

Zauważmy w tym celu, że odległości każdego z punktów $M$ , $N$ , $P$ od punktów $B_1$ i $D$ są równe, gdyż każda z nich równa się odcinkowi, który w kwadracie o boku $a$ łączy środek jednego z boków z jednym z wierzchołków kwadratu przeciwległych temu bokowi.

Płaszczyzna $MNP$ jest zatem płaszczyzną symetralną odcinka $B_1D$ . Na tejże płaszczyźnie symetralnej leżą również środki $M_1$ , $N_1$ , $P_1$ krawędzi sześcianu przeciwległych odpowiednio do $AB$ , $CC_1$ , $A_1D_1$ , które są też punktami równo odległymi od punktów $B_1$ i $D$ . Wobec tego płaszczyzna $MNP$ przecina wszystkie $6$ ścian sześcianu odpowiednio według odcinków $MP_1$ , $P_1N$ , $NM_1$ , $M_1P$ , $PN_1$ , $N_1M$ ; przekrojem sześcianu jest sześciokąt $MP_1NM_1PN_1$ . Sześciokąt ten jest foremny, gdyż jego boki są sobie równe, a przy tym można na nim opisać koło, albowiem środek $O$ sześcianu jest równoodległy od wierzchołków sześciokąta.