IX OM - I - Zadanie 9

Zawody matematyczne:

IX OM, 1957-1958

Etap:

Dowieść, że zachodzi nierówność

$ (1) \qquad \frac{1}{a + b + c} + \frac{1}{a + b + d} + \frac{1}{a + c + d}+ \frac{1}{b + c + d} \geq \frac{16}{3(a + b + c + d)}, $

gdzie $a$ , $b$ , $c$ , $d$ oznaczają liczby dodatnie.

Rozwiązanie

Nierówności (1) nadamy prostszą postać, wprowadzając oznaczenia

$ b + c + d = x,\ a + c + d = y,\ a + b + d = z,\ a + b + c = u. $

Wówczas $3(a+b+c + d) = x + y + z + u$ i nierówność (1) przybiera postać

$ (2) \qquad \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{u} \geq \frac{16}{x + y + z + u}, $

przy czym $x > 0$ , $y > 0$ , $z > 0$ , $u > 0$ . Podamy dwa dowody nierówności (2).

\spos{1} Zauważmy, że gdy $m > 0$ i $n > 0$ , to

$ (3) \qquad \frac{1}{m} + \frac{1}{n} \geq \frac{4}{m + n}. $

Istotnie

$ \frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{m+n}{mn} = \frac{(m + n)^2}{mn(m+n)} \geq \frac{4mn}{mn(m+n)} = \frac{4}{m+n}. $

Zatem

$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y} \textrm{ oraz } \frac{1}{z} + \frac{1}{u} \geq \frac{4}{z+u} $

skąd

$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} +\frac{1}{z} + \frac{1}{u} \geq 4 \left( \frac{1}{x+y} + \frac{1}{z+u} \right) . $

Stosując nierówność (3) do prawej strony powyższej nierówności, otrzymujemy

$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} +\frac{1}{z} + \frac{1}{u} \geq \frac{16}{x + y + z + u}. $