IX OM - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

IX OM, 1957-1958

Etap:

Dowieść, że dla każdego naturalnego $n$

$ \sin \frac{2\pi}{n} + \sin \frac{4\pi}{n} + \sin \frac{6\pi}{n} + \ldots + \sin \frac{2n \pi}{n} = 0. $

Rozwiązanie

\spos{1} Oznaczmy lewą stronę powyższej równości literą $S$ ; ponieważ ostatni jej wyraz $\sin \frac{2n\pi}{n}$ równa się zeru, więc

$ S = \sin \frac{2\pi}{n} + \sin \frac{4\pi}{n} + \ldots + \sin \frac{(2n-4) \pi}{n} + \sin \frac{(2n-2) \pi}{n} = 0. $

Zmieniając w sumie $S$ kolejność wyrazów, mamy

$ S = \sin \frac{(2n-2)\pi}{n} + \sin \frac{(2n-4)\pi}{n} + \ldots + \sin \frac{4\pi}{n} + \sin \frac{2\pi}{n} = 0. $

Dodając obie równości stronami, otrzymujemy

$ \begin{split} S & = \left( \sin \frac{2\pi}{n} + \sin \frac{(2n-2)\pi}{n} \right) + \left( \sin \frac{4\pi}{n} + \sin \frac{(2n-4)\pi}{n} \right) + \ldots + \\ & + \left( \sin \frac{(2n-4) \pi}{n} + \sin \frac{4\pi}{n} \right) + \left( \sin \frac{(2n-2) \pi}{n} + \sin \frac{2\pi}{n} \right). \end{split} $

Każde z wyrażeń zawartych w nawiasach równa się zeru, gdyż

$ \sin \frac{(2n - 2k)\pi}{n} = \sin \left( 2\pi - \frac{2k\pi}{n} \right) = - \sin \frac{2k\pi}{n}, $

gdzie ( $k = 1, 2, \ldots, n - 1$ ).

Zatem $2S = 0$ , c. n. d.

Powyższe rozwiązanie posiada prostą interpretację geometryczną. Weźmy pod uwagę wektory jednostkowe (tj. o długości $1$ ) $\overrightarrow{OA_1}, \overrightarrow{OA_2}, \ldots, \overrightarrow{OA_{n-1}}, \overrightarrow{OA_n}$ (rys. 9), tworzące z osią $OX$ kąty $\frac{2\pi}{n}, \frac{4\pi}{n}, \ldots, \frac{(2n-2)\pi}{n}, \frac{2n\pi}{n}$ .

Wówczas powyższa suma $S$ równa się sumie miar rzutów tych wektorów na oś $OY$ , tj. sumie miar wektorów $\overrightarrow{OB_1}, \overrightarrow{OB_2}, \ldots, \overrightarrow{OB_{n-1}}, \overrightarrow{OB_n}$ . Otóż te rzuty są parami przeciwne: $\overrightarrow{OB_{n-1}}= - \overrightarrow{OB_1}, \overrightarrow{OB_{n-2}} = - \overrightarrow{OB_2}, \ldots$ itd., z wyjątkiem rzutu wektora $\overrightarrow{OA_n}$ oraz - gdy $n$ jest parzyste - rzutu wektora $\overrightarrow{OA_{\frac{n}{2}}}$ , które się pokrywają z punktem $O$ . Zatem wektor $S= 0$ .