IX OM - I - Zadanie 11

Zawody matematyczne:

IX OM, 1957-1958

Etap:

Dowieść, że jeżeli dwa czworokąty mają te same środki boków, to mają równe pola. Wykazać słuszność analogicznego twierdzenia dla wielokątów wypukłych o dowolnej parzystej liczbie boków.

Rozwiązanie

Niech $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ będą odpowiednio środkami boków $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ czworokąta $ABCD$ (rys. 10). Na mocy twierdzenia o odcinku łączącym środki dwóch boków trójkąta mamy w trójkącie $ABD$

$ MQ \parallel BD \textrm{ i } MQ = \frac{1}{2} BD, $

a w trójkącie $BCD$

$ NP \parallel BD \textrm{ i } NP = \frac{1}{2} BD, $

zatem $MQ = NP$ i $MQ \parallel NP$ , wobec czego czworokąt $MNPQ$ jest równoległobokiem; prosta $BD$ dzieli go na równoległoboki $QMKL$ i $PNKL$ . Pole równoległoboku $QMKL$ jest połową pola trójkąta $ABD$ , gdyż bok $MQ$ i wysokość równoległoboku względem tego boku są równe połowie boku $BD$ i połowie wysokości względem $BD$ w trójkącie $ABD$ . Tak samo pole równoległoboku $PNKL$ jest połową pola trójkąta $BCD$ . Zatem pole czworokąta $ABCD$ jest dwa razy większe od pola równoległoboku $MNPQ$ .

Jeśli zatem dwa czworokąty mają te same środki boków $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ , to pola ich są równe, a mianowicie równe podwójnemu polu równoległoboku $MNPQ$ .

Udowodnimy twierdzenie ogólniejsze, że jeśli dwa wielokąty wypukłe o $2n$ bokach mają te same środki boków, to mają równe pola. Zastosujemy indukcję zupełną. Dla $n = 2$ twierdzenie jest prawdziwe, załóżmy, że jest ono prawdziwe dla $n = k - 1$ ( $k \geq 3$ ). Niech $A_1A_2 \ldots A_{2k}$ i $B_1B_2 \ldots B_{2k}$ będą dwoma wielokątami wypukłymi o $2k$ bokach mającymi te same środki boków $M_1, M_2, \ldots M_{2k}$ , przy czym $M_i$ oznacza wspólny środek boków $A_iA_{i+1}$ i $B_iB_{i+1}$ . Na rys. 11 wielokąt $B_1B_2 \ldots B_{2k}$ nie został narysowany, czytelnik zechce go sobie wyobrazić.

Poprowadźmy w tych wielokątach przekątne $A_1A_4$ i $B_1B_4$ dzielące je na czworokąty $A_1A_2A_3A_4$ i $B_1B_2B_3B_4$ oraz wielokąty wypukłe $A_1A_4 \ldots A_{2k}$ i $B_1 B_4 \ldots B_{2k}$ o $2k - 2$ bokach. Środek $N$ odcinka $A_1A_4$ jest jednoznacznie wyznaczony przez punkty $M_1$ , $M_2$ , $M_3$ , gdyż jest to czwarty wierzchołek równoległoboku, którego trzema kolejnymi wierzchołkami są punkty $M_1$ , $M_2$ , $M_3$ . Stąd wynika, że ten sam punkt $N$ jest również środkiem przekątnej $B_1B_4$ wielokąta $B_1B_2\ldots B_{2k}$ . Znaczy to, że zarówno oba czworokąty $A_1A_2A_3A_4$ i $B_1B_2B_3B_4$ , jak oba wielokąty $A_1A_4\ldots A_{2k}$ i $B_1B_4 \ldots B_{2k}$ mają te same środki boków. W takim razie na podstawie twierdzenia poprzedniego

$ \textrm{pole } A_1A_2A_3A_4 = \textrm{pole } B_1B_2B_3B_4, $

a na mocy założenia indukcyjnego

$ \textrm{pole } A_1A_4\ldots A_{2k} = \textrm{pole } B_1B_4\ldots B_{2k}. $

Dodając te równości stronami, otrzymujemy

$ \textrm{pole } A_1A_2\ldots A_{2k} = \textrm{pole } B_1B_2\ldots B_{2k}. $

Uwaga 1. Przeprowadzony powyżej dowód twierdzenia dla czworokątów stosuje się zarówno do czworokątów wypukłych, jak wklęsłych (por. rys. 10). Natomiast w dowodzie twierdzenia dla wielokątów o parzystej liczbie boków większej niż $4$ korzystaliśmy z założenia, że chodzi o wielokąty wypukłe, a mianowicie opieraliśmy się na tym, że prowadząc w wielokącie wypukłym o $2k$ bokach przekątną przez wierzchołki pierwszy i czwarty (liczone w określonym kierunku po obwodzie), podzielimy wielokąt na czworokąt i wielokąt o $2k - 2$ bokach. Powstaje pytanie, czy twierdzenie jest prawdziwe dla wielokątów wklęsłych. Odpowiedź jest twierdząca, ale dowód trzeba poprowadzić inaczej, gdyż istnieją takie wielokąty wklęsłe, w których nie ma przekątnej odcinającej od wielokąta czworokąt, jak np. $12$ -kąt gwiaździsty na rys. 12. Dowodu tego nie podajemy, pozostawiając go jako ciekawe, ale trudne zadanie dla czytelnika.

Uwaga 2. Twierdzenie jest prawdziwe również dla wielokątów o nieparzystej liczbie boków. W tym przypadku jest ono oczywiste, gdyż dwa wielokąty o nieparzystej liczbie boków mające te same środki boków muszą się pokrywać. Por. Zadania z Olimpiad Matematycznych, Warszawa 1956, PZWS, zadanie nr 123.