IX OM - I - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

IX OM, 1957-1958

Etap:

Dany jest okrąg o promieniu $r$ i półproste $AB$ i $AC$ styczne do tego okręgu w punktach $B$ i $C$ . Wyznaczyć taką styczną do danego okręgu, której odcinek zawarty w kącie $BAC$ jest najkrótszy.

Rozwiązanie

Żądanej prostej należy oczywiście szukać między tymi stycznymi do danego okręgu, które przecinają odcinki $AB$ i $AC$ , gdyż dla innych stycznych odcinki zawarte w kącie $BAC$ są większe niż odcinki stycznych równoległych do nich. Niech $MN$ (rys. 13) będzie odcinkiem prostej stycznej do danego okręgu. Weźmy pod uwagę trójkąt $MON$ . Kąt $MON$ tego trójkąta równa się połowie $\measuredangle BOC$ , gdyż $\measuredangle MOH= \measuredangle MOB$ , a $\measuredangle HON = \measuredangle NOC$ ; ponieważ $\measuredangle BOC = 180^\circ - \measuredangle A$ , więc $\measuredangle MON = 90^\circ - \frac{1}{2} \measuredangle A$ . Wysokość $OH$ trójkąta $MON$ równa się promieniowi $r$ danego okręgu. Zatem w trójkącie $MON$ kąt przy wierzchołku $O$ i wysokość z tego wierzchołka mają wielkość stałą i zadanie sprowadza się do zadania następującego: który z trójkątów o danej wysokości i danym kącie przy wierzchołku ma najmniejszą podstawę? Aby na to pytanie odpowiedzieć, wystarczy oprzeć się na konstrukcji trójkąta, gdy mamy dane: podstawę $l$ , kąt przy wiejzchołku $\alpha$ i wysokość $h$ . Znana ta konstrukcja przedstawiona jest na rys. 14. Gdy $h$ i $\alpha$ pozostają bez zmiany, a $l$ się zmniejsza, wówczas zmniejsza się również promień $MS$ łuku mieszczącego kąt $\alpha$ . Długość $l$ jest najmniejsza wówczas, gdy ten łuk jest styczny do prostej $KL$ . Trójkąt jest wówczas równoramienny. A zatem poszukiwaną prostą jest ta styczna do okręgu, dla której $\triangle MON$ jest równoramienny, tj. która jest prostopadła do osi symetrii $AO$ danej figury.