IX OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

IX OM, 1957-1958

Etap:

Dowieść, że jeżeli $a$ jest liczbą całkowitą różną od $1$ i od $- 1$ , to $a^4 + 4$ nie jest liczbą pierwszą.

Rozwiązanie

Wyrażenie $a^4 + 4$ możemy w następujący sposób przedstawić w postaci iloczynu $2$ czynników:

$ a^4 + 4 = a^2 + 4a^2 + 4 - 4a^2 = (a^2 + 2)^2 - 4a^2 = (a^2 + 2a + 2) (a^2 - 2a + 2). $

Ponieważ

$ a^2 + 2a + 2 = (a + 1)^2 + 1, $

$ a^2 - 2a + 2 = (a - 1)^2 + 1, $

więc gdy $a \ne 1$ i $a \ne - 1$ , to każdy z tych czynników jest dodatni i większy od $1$ . Stąd wynika, że gdy $a$ jest liczbą całkowitą różną od $1$ i od $- 1$ , to $a^4 + 4$ nie jest liczbą pierwszą.