IX OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

IX OM, 1957-1958

Etap:

Sześć równych krążków położono na płaszczyźnie w ten sposób, że ich środki leżą w wierzchołkach sześciokąta foremnego o boku równym średnicy krążków. Ile obrotów wykona siódmy krążek tej samej wielkości toczący się w tej samej płaszczyźnie zewnętrznie po krążkach do chwili powrotu do położenia początkowego?

Rozwiązanie

Niech koło $K$ o środku $O$ i promieniu $r$ toczy się bez ślizgania, po kole o środku $S$ i promieniu $R$ (rys. 16) w kierunku zaznaczonym strzałką. Toczenie się bez ślizgania należy rozumieć w ten sposób, że coraz to inny punkt jednego okręgu pokrywa się z coraz to innym punktem drugiego okręgu, przy czym w tym przyporządkowaniu długość łuku między dwoma punktami jednego okręgu równa się długości łuku między odpowiednimi punktami drugiego okręgu.

Weźmy pod uwagę dwa położenia $K$ i $K_1$ koła ruchomego, którym odpowiadają środki $O$ i $O_1$ oraz punkty styczności z kołem nieruchomym $A$ i $B_1$ ; niech $B$ będzie tym punktem okręgu koła $K$ , który w nowym położeniu przechodzi w punkt styczności $B_1$ i niech $\alpha$ i $\beta$ oznaczają miary łukowe kątów $ASB_1$ i $AOB$ . Ponieważ długość łuku $AB_1$ nieruchomego okręgu równa się długości łuku $AB$ ruchomego okręgu, więc $R \alpha = r \beta$ . Promień $OA$ okręgu ruchomego zajmie nowe położenie $O_1A_1$ , przy czym $\measuredangle A_1O_1B_1 = \measuredangle AOB = \beta$ . Poprowadźmy promień $O_1A_0$ równoległy do $OA$ ; otrzymamy $\measuredangle A_0O_1B_1 = \measuredangle ASB_1 = \alpha$ . Kąt $A_0O_1A_1 = \alpha + \beta$ jest równy kątowi, o który obróciło się koło $K$ przy przejściu z położenia $K$ do położenia $K_1$ . Jeżeli $R = r$ , to $\beta = \alpha$ , kąt obrotu wynosi wówczas $2 \alpha$ .

Po ustaleniu powyższego łatwo odpowiedzieć na postawione pytanie.

Ruchomy krążek $K$ toczy się kolejno po danych sześciu krążkach; przejście z jednego z nich na drugi ma miejsce w tych położeniach, w których krążek $K$ jest styczny jednocześnie do dwóch krążków nieruchomych. Niech $K_1$ i $K_2$ będą tymi położeniami, w których krążek $K$ jest styczny do krążka nieruchomego $N$ i do jednego z krążków sąsiednich (rys. 17). Wówczas $\measuredangle O_1SO_2 = 120^\circ$ , więc przy przejściu z położenia $K_1$ do położenia $K_2$ krążek obróci się o $240^\circ$ . Do położenia początkowego krążek powróci po $6$ takich obrotach, obróci się więc razem o $6 \cdot 240^\circ = 4 \cdot 360^\circ$ , tzn. wykona $4$ pełne obroty.

Uwaga. Można rozważać ogólniej toczenie się krążka o promieniu $r$ po dowolnej krzywej $C$ (rys. 18). Gdy punkt styczności $A$ przebiegnie po krzywej łuk $AB_1$ o długości $l$ , wówczas kąt, o który obróci się krążek, wynosi $\alpha + \beta$ , gdzie $\alpha$ równa się kątowi prostych $OA$ i $O_1B_1$ , czyli kątowi, jaki tworzą normalne do krzywej $C$ w punktach $A$ i $B$ , a $\beta = \frac{l}{r}$ .