IX OM - II - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

IX OM, 1957-1958

Etap:

Dowieść, że jeżeli wielomian $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ o współczynnikach całkowitych przybiera dla $x = 0$ i $x = 1$ wartości nieparzyste, to równanie $f(x) = 0$ nie ma pierwiastków całkowitych.

Rozwiązanie

Według założenia liczby $f(0) = d$ i $f(1) = a + b + c + d$ są nieparzyste. Wykażemy, że $f(x)$ jest wówczas dla każdego całkowitego $x$ liczbą całkowitą nieparzystą. Istotnie, jeśli $x$ jest liczbą parzystą, to $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ jest sumą liczb parzystych $ax^3$ , $bx^2$ , $cx$ i liczby nieparzystej $d$ . Jeżeli zaś $x$ jest liczbą nieparzystą, to $f(x) = a (x^3 - 1) + b(x^2 - 1) + c (x - 1) + (a + b + c + d)$ jest sumą liczb parzystych $a(x^3 - 1)$ , $b(x^2 - 1)$ , $c(x - 1)$ i liczby nieparzystej $a + b + c + d$ . Zatem $f(x) \ne 0$ c. n. d.

Uwaga. Rozumowanie powyższe można zastosować do dowolnego wielomianu

$ f(x) = a_0x^n + a_2 x^{n-1} + \ldots + a_{n-1} x + a_n $

o współczynnikach całkowitych $a_0, a_1, \ldots, a_n$ .

Gdy $x$ jest liczbą całkowitą parzystą, to

$ f(x) - a_n = a_0 x^{n} + a_1 x^{n-1} + \ldots + a_{n-1} x $

jest też liczbą parzystą, zatem liczba $f(x)$ jest tej samej parzystości, co $a_n$ , czyli $f(0)$ .

Gdy zaś $x$ jest całkowite nieparzyste, to

$ f(x) - (a_0 + a_1 + \ldots + a_n) = a_0 (x^{n} - 1) + a_1 (x^{n-1} - 1) + \ldots + a_{n-1} (x - 1) $

jest liczbą parzystą, zatem liczba $f(x)$ jest tej samej parzystości, co liczba $a_0 + a_1 + \ldots + a_n$ równa $f(1)$ .

Jeśli więc $f(0)$ i $f(1)$ są liczbami nieparzystymi, to dla każdego całkowitego $x$ liczba $f(x)$ jest nieparzysta, wobec czego $f(x) \ne 0$ .

Można też powiedzieć, że jeżeli istnieją takie całkowite $k$ i $l$ , że $f(2k)$ i $f(2l + 1)$ są liczbami nieparzystymi, to $f(x)$ jest dla każdego całkowitego $x$ liczbą nieparzystą, zatem $f(x) \ne 0$ .