IX OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

IX OM, 1957-1958

Etap:

Dowieść, że jeżeli

$ (1) \qquad (a + b + c)^2 = 3 (ab + bc + ac - x^2 - y^2 - z^2), $

gdzie $a$ , $b$ , $c$ , $x$ , $y$ , $z$ oznaczają liczby rzeczywiste, to $a = b = c$ oraz $x = y = z = 0$ .

Rozwiązanie

Przekształcając równość (1), otrzymujemy kolejno

$ a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2 = 3ab + 3bc + 3ac - 3 (x^2 + y^2 + z^2), $

$ a^2 - ab + b^2 - ac - bc + c^2 = - 3 (x^2 + y^2 + z^2), $

$ \frac{1}{2} (a^2 - 2ab + b^2 + a^2 - 2ac + c^2 + b^2 - 2bc + c^2) = 3(x^2 + y^2 + z^2), $

$ (2) \qquad \frac{1}{2} [(a - b)^2 + (a - c)^2 + (b- c)^2] = - 3 (x^2 + y^2 + z^2). $

Ponieważ lewa strona równości (2) jest liczbą nieujemną, a prawa - liczbą niedodatnią, więc obie są równe zeru, skąd

$ a = b = c \textrm{ i } x = y = z = 0. $