IX OM - II - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

IX OM, 1957-1958

Etap:

Na płaszczyźnie dane są dwa okręgi $C_1$ i $C_2$ oraz prosta $m$ . Znaleźć na prostej $m$ taki punkt, z którego można do okręgów $C_1$ i $C_2$ poprowadzić styczne jednakowo nachylone do prostej $m$ .

Rozwiązanie

Jeżeli dane okręgi mają wspólną styczną $s$ , przecinającą prostą $m$ w punkcie $S$ , to można uważać, że punkt $S$ odpowiada warunkom zadania, gdyż przez ten punkt przechodzą dwie pokrywające się styczne do danych okręgów jednakowo nachylone do prostej $m$ .

Pomijając to rozwiązanie banalne, poszukamy innych rozwiązań. Przypuśćmy, że przez punkt $T$ prostej $m$ przechodzą dwie różne proste $t_1$ i $t_2$ , styczne odpowiednio do okręgów $C_1$ i $C_2$ i jednakowo nachylone do prostej $m$ , czyli symetryczne względem $m$ (rys. 26). Okrąg $C'_1$ , symetryczny do okręgu $C_1$ względem $m$ , jest styczny do prostej symetrycznej do stycznej $t_1$ okręgu $C_1$ , tzn. do prostej $t_2$ . Zatem prosta $t_2$ jest wspólną styczną okręgów $C'_1$ i $C_2$ . Rozwiązaniem zadania jest punkt przecięcia $T$ każdej wspólnej stycznej okręgów $C'_1$ i $C_2$ z prostą $m$ . Zauważmy, że punkt $T$ jest jednocześnie punktem przecięcia z prostą $m$ wspólnej stycznej $t_1$ okręgu $C_1$ i okręgu $C'_2$ symetrycznego do okręgu $C_2$ względem prostej $m$ . Zadanie może mieć $4$ , $3$ , $2$ , $1$ lub $0$ rozwiązań.