IX OM - III - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

IX OM, 1957-1958

Etap:

III

Każdy bok czworokąta wypukłego $ABCD$ podzielono na trzy równe części; przez te punkty podziału boków $AB$ i $AD$ , które leżą bliżej wierzchołka $A$ , poprowadzono prostą i analogicznie postąpiono przy wierzchołkach $B$ , $C$ , $D$ . Dowieść, że środek ciężkości czworokąta utworzonego przez narysowane proste pokrywa się ze środkiem ciężkości czworokąta $ABCD$ .

Rozwiązanie

Przyjmiemy oznaczenia uwidocznione na rys. 27. Mamy dowieść, że środek ciężkości czworokąta $ABCD$ pokrywa się ze środkiem ciężkości czworokąta $MNPQ$ , który jest równoległobokiem, gdyż proste $MN$ i $QP$ (a także proste $14$ i $85$ ) są równoległe do prostej $AC$ , a proste $MQ$ i $NP$ są równoległe do prostej $BD$ .

Wyznaczymy najpierw środki ciężkości trójkątów $ABC$ i $ADC$ , na które przekątna $AC$ dzieli czworokąt $ABCD$ . Środek ciężkości $S$ trójkąta $ABC$ leży na środkowej $BK$ tego trójkąta, przy czym $BS = \frac{2}{3} BK$ ; ponieważ trójkąt $1B4$ jest jednokładny do trójkąta $ABC$ w skali $2 \colon 3$ , więc punkt $S$ leży w środku odcinka $14$ . Analogicznie środek ciężkości $T$ trójkąta $ADC$ leży w środku odcinka $85$ .

Wiadomo, że jeżeli figura składa się z dwóch części (nie zachodzących na siebie), to środek ciężkości tej figury leży na odcinku łączącym środki ciężkości obu części. Środek ciężkości czworokąta $ABCD$ leży zatem na odcinku $ST$ , a, tym samym na prostej przechodzącej przez środki boków $MN$ i $QP$ równoległoboku $MNPQ$ . Zupełnie tak samo musi on leżeć na prostej przechodzącej przez środki boków $MQ$ i $NP$ tego równoległoboku. Obie wymienione proste przecinają się w środku równoległoboku $MNPQ$ , który jest oczywiście środkiem ciężkości tego równoległoboku. Istotnie więc środki ciężkości czworokąta $ABCD$ i równoległoboku $MNPQ$ pokrywają się.

Uwaga 1. Twierdzenie jest prawdziwe również dla czworokąta wklęsłego; dowód przebiega tak samo jak dla czworokąta wypukłego z tą jedynie różnicą, że jeżeli $AC$ jest tą przekątną, która leży na zewnątrz czworokąta $ABCD$ (rys. 28), to środek ciężkości czworokąta $ABCD$ nie leży na odcinku $TS$ , lecz na jego przedłużeniu poza punkt $S$ .

Uwaga 2. Dowód poprzedni można zmodyfikować, jak następuje. Jeśli $S$ i $T$ są środkami ciężkości trójkątów $ABC$ i $ADC$ , to środek ciężkości czworokąta $ABCD$ jest tym punktem prostej $TS$ , który dzieli odcinek $TS$ (w przypadku rys. 27 wewnętrznie, a w przypadku rys. 28 zewnętrznie) odwrotnie proporcjonalnie do pól trójkątów $ADC$ i $ABC$ . Punkty $S$ i $T$ są zarazem środkami ciężkości równoległoboków $MNVU$ i $UVPQ$ , zatem środek ciężkości równoległoboku $MNPQ$ dzieli odcinek $TS$ odwrotnie proporcjonalnie do pól $UVPQ$ i $MNVU$ . Lecz $\textrm{pole } UVPQ = \textrm{pole } AC67 = \frac{8}{9}$ , $\textrm{pola } ADC$ i podobnie $\textrm{pole }MNVU = \textrm{pole } A23C = \frac{8}{9} \textrm{pola } ABC$ , zatem stosunek pól trójkątów $ADC$ i $ABC$ równa się stosunkowi pól równoległoboków $UVPQ$ i $MNVU$ . Stąd wynika, że środki ciężkości czworokątów $ABCD$ i $MNPQ$ pokrywają się.