Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

IX OM - III - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

IX OM, 1957-1958

Etap:

III

Dowieść, że jeżeli $k$ jest liczbą naturalną, to

$<br /> (1) \qquad (1 + x)(1 + x^2) (1 + x^4) \ldots (1 + x^{2^k}) =<br /> 1 + x + x^2 + x^3+ \ldots + x^m,<br />$

gdzie $m$ jest liczbą naturalną zależną od $k$ ; wyznaczyć $m$ .

Rozwiązanie

Stwierdzamy, że dla $k = 1, 2, 3, \ldots$ zachodzi wzór (1), przy czym $m = 1, 3, 7, \ldots$ , czyli $m = 2 - 1, 4 - 1, 8 - 1, \ldots$ . Stosujemy indukcję zupełną, oznaczając jak poprzednio lewą stronę równości (1) literą $P_k$ ; przypuśćmy, że dla pewnego naturalnego $k$

$<br /> P_k = 1 + x + x^2 + \ldots + x^{2^{k+1} -1}.<br />$

Biorąc pod uwagę, że $P_{k+1} = P_k (1 + x^{2^{k+1}})$ , otrzymujemy stąd

$<br /> P_{k+1} = (1 + x + x^2 + \ldots + x^{2^{k+1}} -1) (1 + x^{2^{k+1}}).<br />$

Według wzoru na sumę postępu geometrycznego

$<br /> 1 + x + x^2 + \ldots + x^{2^{k+1} -1} = \frac{1 - x^{2^{k+1}}}{1-x}.<br />$

Wobec tego

$<br /> P_{k+1} = \frac{(1 - x^{2^{k+1}}) (1 + x^{2^{k+1}})}{1 - x} =<br /> \frac{1 - x^{2^{k+1}}}{1-x} = 1 + x + x^2 + \ldots + x^{2^{k+1}-1}.<br />$

Na mocy indukcji wynika stąd prawdziwość wzoru (1) dla dowolnego naturalnego $k$ , przy czym $m = 2^{k+1} - 1$ .

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/1580