IX OM - III - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

IX OM, 1957-1958

Etap:

III

Udowodnić twierdzenie: W czworościanie płaszczyzna dwusieczna każdego kąta dwuściennego dzieli krawędź przeciwległą na odcinki proporcjonalne do pól ścian czworościanu tworzących ten kąt dwuścienny.

Rozwiązanie

Twierdzenie o płaszczyźnie dwusiecznej w czworościanie można w następujący sposób sprowadzić do twierdzenia o dwusiecznej w trójkącie. Weźmy pod uwagę rzut prostokątny $A'B'C'D'$ czworościanu $ABCD$ (rys. 33) na płaszczyznę $\pi$ prostopadłą do krawędzi $AB$ .

Rzuty $A'$ , $B'$ punktów $A$ i $B$ pokrywają się i rzut czworościanu jest trójkątem $A'C'D'$ , przy czym kąt $C'A'D'$ jest równy kątowi liniowemu dwuścianu o krawędzi $AB$ . Niech $M'$ będzie rzutem punktu $M$ , w którym płaszczyzna dwusieczna przecina krawędź $CD$ . Prosta $A'M'$ jest dwusieczną kąta $C'A'D'$ , gdyż kąty $C'A'M'$ i $M'A'D'$ są równe kątom liniowym równych dwuścianów. Wobec tego

$ \frac{C'M'}{M'D'} = \frac{A'C'}{A'D'}. $

Ponieważ rzutowanie nie zmienia stosunku odcinków na prostej, więc

$ \frac{CM'}{M'D'} = \frac{CM}{MD}. $

Odcinki $A'C'$ i $A'D'$ są rzutami trójkątów $ABC$ i $ABD$ , są więc zarazem rzutami wysokości tych trójkątów względem boku $AB$ . Wysokości te, jako równoległe do rzutni $\pi$ , są równe swoim rzutom. A ponieważ pola trójkątów $ABC$ i $ABD$ o wspólnym boku $AB$ mają się do siebie jak odpowiednie wysokości, więc

$ \frac{\textrm{pole }ABC}{\textrm{pole }ABD} = \frac{A'C'}{A'D'}. $

Z powyższych równości otrzymujemy

$ \frac{CM}{MD} = \frac{\textrm{pole }ABC}{\textrm{pole }ABD}. $