IX OM - III - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

IX OM, 1957-1958

Etap:

III

Dowieść, że ze wszystkich czworokątów opisanych na danym kole najmniejszy obwód ma kwadrat.

Rozwiązanie

Ponieważ pole wielokąta opisanego na kole jest proporcjonalne do jego obwodu, więc twierdzenie, które mamy udowodnić, jest równoważne twierdzeniu, że spośród wszystkich czworokątów opisanych na danym kole najmniejsze pole ma kwadrat.

Niech $Q$ będzie kwadratem opisanym na kole $K$ , $ABCD$ czworokątem opisanym na tymże kole, a nie będącym kwadratem, $K'$ - kołem opisanym na kwadracie. Dla większej przejrzystości na rys. 34 opisano czworokąty na dwóch równych kołach zamiast na jednym.

Zauważmy, że co najmniej jeden wierzchołek czworokąta $ABCD$ musi leżeć wewnątrz koła $K'$ , gdyż co najmniej jeden z jego kątów jest większy od kąta prostego.

Boki kwadratu odcinają od koła $K'$ cztery równe odcinki kołowe; oznaczając pola tych odcinków literą $s$ , mamy

$ (1) \qquad \textrm{pole }Q = \textrm{pole }K' - 4s. $

Proste $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ odcinają od koła $K'$ takie same odcinki o polu $s$ ; ponieważ przynajmniej jeden z punktów $A$ , $B$ , $C$ , $D$ leży wewnątrz koła $K'$ , więc przynajmniej dwa z tych odcinków częściowo się pokrywają. Wobec tego różnica $K' - 4s$ jest mniejsza, niż pole tej części czworokąta $ABCD$ , która znajduje się w kole $K'$ , tym bardziej więc

$ (2) \qquad \textrm{pole }ABCD > K' - 4s. $

Uwzględniając (1), otrzymujemy

$ \textrm{pole }ABCD > \textrm{pole }Q, \quad \textrm{c. n. d.} $

Uwaga. Twierdzenie, które udowodniliśmy, jest przypadkiem szczególnym twierdzenia następującego.

Spośród wszystkich wielokątów, o tej samej liczbie $n$ boków, opisanych na danym kole najmniejszy obwód ma wielokąt foremny.

Aby uzyskać dowód tego twierdzenia, wystarczy w rozumowaniu podanym wyżej w sposobie 1 zastąpić wyrazy "kwadrat" i "czworokąt" wyrazami "wielokąt foremny o $n$ bokach" i "wielokąt o $n$ bokach" oraz liczbę $4$ przez $n$ .