VIII OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

VIII OM, 1956-1957

Etap:

Rozwiązać układ równań

$ (1) \qquad \begin{array}{c} x^5 - y^5 = 992,\\ x - y = 2. \end{array} $

Rozwiązanie

Biorąc pod uwagę wzór

$ (x - y)^5 = x^5 - 5x^4y + 10x^3y^2 - 10x^2y^3 + 5xy^4 - y^5, $

możemy dwumian $x^5 - y^5$ przekształcić, jak następuje:

$ \begin{split} x^5 - y^5 & = (x - y)^5 + 5x^4y - 10x^3y^2 + 10x^2y^3 - 5xy^4 =\\ & = (x - y)^5 + 5 xy (x^3 - y^3) - 10 x^2y^2 (x - y) =\\ & = (x - y)^5 + 5 xy[(x - y)^3 + 3 xy (x - y)] - 10 x^2y^2 (x - y) =\\ & = (x - y)^5 + 5 xy (x - y)^3 + 5 x^2y^2 (x - y). \end{split} $

Jeżeli w układzie równań (1) lewą stronę pierwszego równania zastąpimy otrzymanym wyżej wyrażeniem, a następnie podstawimy w nim zamiast $x - y$ liczbę $2$ , otrzymamy (po uproszczeniu pierwszego równania) równoważny układ równań

$ (2) \qquad \begin{array}{c} x^2y^2 + 4 xy - 96 =0,\\ x-y=2. \end{array} $

Ponieważ pierwsze z równań (2), które jest równaniem kwadratowym względem $xy$ , można zastąpić alternatywą $xy = 8$ lub $xy = - 12$ , więc układ równań (2) jest równoważny alternatywie układów równań

$ (3a )\qquad \begin{array}{c} xy = 8,\\ x - y = 2. \end{array} \textrm{ lub } \nr{3b} \begin{array}{c} xy = - 12,\\ x - y = - 2. \end{array} $

Układ (3a) ma $2$ rozwiązania: $x = 4$ , $y = 2$ oraz $x = -2$ , $y = -4$ . Układ (3b) ma $2$ rozwiązania: $x = 1 + i \sqrt{11}$ , $y = - 1 + i \sqrt{11}$ oraz $x = 1 - i \sqrt{11}$ , $y = -1 - i \sqrt{11}$ .

Dany układ równań (1) ma zatem $4$ rozwiązania, z których $2$ są rzeczywiste.

Uwaga 1: Powyższy sposób rozwiązania układu (1) opiera się na tym, że $x^5 - y^5$ można w prosty sposób przedstawić w zależności od $x - y$ i $xy$ . Fakt ten wiąże się z pewnym twierdzeniem o wielomianach, które objaśnimy tutaj ograniczając się do wielomianów dwóch zmiennych. Odpowiednie rozważania dla wielomianów dowolnej liczby zmiennych znajdzie czytelnik np. w książkach: W. Sierpiński - Zasady algebry wyższej, Warszawa-Wrocław 1946, A. Mostowski i M. Stark - Algebra wyższa, cz. II, Warszawa 1954.

Wielomian $W (x, y)$ zmiennych $x$ i $y$ nazywa się symetryczny, jeżeli nie zmienia się, gdy $x$ zastąpić w nim przez $y$ i na odwrót, tzn. gdy tożsamościowo $W (y, x) = W (x, y)$ . Na przykład wielomiany $x + y$ i $xy$ są symetryczne; nazywają się one wielomianami symetrycznymi podstawowymi. Również sumy jednakowych potęg $x$ i $y$ , na przykład $x^2 + y^2$ , $x^3 + y^3$ , itd. są wielomianami symetrycznymi. Natomiast suma różnych potęg $x$ i $y$ , na przykład $x^2 + y^3$ nie jest wielomianem symetrycznym, gdyż $x^2 + y^3$ i $y^3 + x^2$ są to dwie różne funkcje.

Zachodzi następujące twierdzenie: Każdy wielomian symetryczny $W (x, y)$ równa się pewnemu wielomianowi funkcji symetrycznych podstawowych $x + y$ i $xy$ , tzn. pewnemu wielomianowi $T (u, v)$ , gdzie $u = x + y$ , $v = xy$ , przy czym współczynniki wielomianu $T (u, v)$ są utworzone ze współczynników wielomianu $W (x, y)$ , jako ich funkcje liniowe o współczynnikach całkowitych, a stopień $T (u, v)$ jest co najwyżej równy stopniowi $W (x, y)$ .

Aby udowodnić to twierdzenie, rozpatrzymy najpierw sumy jednakowych potęg $x$ i $y$ . Wykażemy metodą indukcji, że wielomian $p_n = x^n + y^n$ jest równy wielomianowi stopnia $n$ zmiennych $u = x + y$ i $v = xy$ mającemu współczynniki całkowite. Istotnie, teza ta jest prawdziwa dla $n = 1$ i $n = 2$ , gdyż $x + y = u$ , a $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2 xy = u^2 - 2v$ . Z założenia zaś, że jest ona słuszna dla każdego $n \leq k$ , gdzie $k \geq 2$ , wynika, że jest ona słuszna i dla $n = k+1$ , gdyż

$ \begin{split} x^{k+1} + y^{k+1} &= (x + y) (x^k + y^k) - x^ky - xy^k =\\ &= (x + y) (x^k + y^k)-xy (x^{k-1} + y^{k-1}) = \\ &= u(x^k + y^k) - v (x^{k-1} + y^{k-1}), \end{split} $

a że wobec przyjętego założenia $x^k + y^k$ i $x^{k-1}+ y^{k-1}$ są wielomianami zmiennych $u$ i $v$ o współczynnikach całkowitych i stopniach $k$ i $k - 1$ , więc $x^{k+1} + y^{k+1}$ jest takimże wielomianem stopnia $k + 1$ .

Weźmy następnie pod uwagę wielomian jednorodny stopnia $n$ uporządkowany według malejących potęg $x$ :

$ a_0x^n + a_1x^{n-1}y + a_2x^{n-2}y^2 + \ldots + a_{n-1}xy^{n-1} + a_ny^n. $

Jeżeli wielomian taki jest symetryczny, to współczynniki wyrazów jednakowo oddalonych od początku i końca wielomianu są równe, tj. $a_0 = a_n, a_1 = a_{n-1}, \ldots$ . Istotnie, zastępując $x$ przez $y$ i na odwrót otrzymujemy wielomian

$ a_0y^n + a_1xy^{n-1} + a_2x^2y^{n-2} + \ldots + a_{n-1}x^{n-1}y + a_nx^n $

tożsamościowo równy poprzedniemu, zatem ich różnica, tj. wielomian

$ (a_0 - a_n)x^n + (a_1 - a_{n-1}) x^{n-1}y + (a_2 - a_{n-2}) x^{n-2} y + \ldots + (a_{n-1} - a_1) xy^{n-1} + (a_n - a_0) y^n $

jest tożsamościowo równy zeru; w takim razie wszystkie współczynniki tego wielomianu są równe zeru, tj. $a_0= a_n, a_1= a_{n-1}, a_2= a_{n-2}, \ldots$ itd.

Stąd wynika, że wielomian symetryczny jednorodny stopnia $n$ można napisać w postaci

$ \begin{split} a_0 (x^n + y^n) + a_1xy (x^{n-2} + y^{n-2}) + a_2x^2y^2 (x^{n-4} + y^{n-4}) + \ldots = \\ = a_0 (x^n + y^n) + a_1v (x^{n-2} + y^{n-2}) + a_2v^2 (x^{n-4} + y^{n-4}) + \ldots. \end{split} $

Ponieważ każda z sum potęg występujących w nawiasach jest, jak już wiemy, wielomianem zmiennych $u= x + y$ i $v = xy$ o współczynnikach całkowitych, przeto cały powyższy wielomian jest również wielomianem zmiennych $u$ i $v$ , przy czym jego współczynniki są funkcjami liniowymi o współczynnikach całkowitych wielkości $a_0, a_1, a_2,\ldots$ . Jeżeli $a_0 = 0$ , stopień tego wielomianu względem $u$ i $v$ równa się $n$ , jeśli zaś $a_0 = 0$ , a pierwszą nieznikającą liczbą ciągu $a_0, a_1 \ldots$ jest $a_k$ , to stopień ten równa się $n - k$ .

Niech wreszcie $W (z, y)$ będzie dowolnym wielomianem symetrycznym stopnia $n$ . Łącząc w nim wyrazy tego samego stopnia w grupy, możemy go przedstawić w postaci

$ W (x, y)= P (x, y) + Q(x,y) + R(x,y) + \ldots, $

gdzie $P (x, y), Q (x, y), R (x, y), \ldots$ są wielomianami jednorodnymi różnych stopni, z których najwyższy równa się $n$ (stałą uważamy za wielomian jednorodny stopnia zero). Przy zamianie $x$ na $y$ i na odwrót, żaden wyraz wielomianu $W$ nie zmienia swego stopnia, zatem każdy z wielomianów $P, Q, R, \ldots$ przechodzi sam na siebie, tzn. $P, Q, R, \ldots$ są wielomianami symetrycznymi.

W takim razie według dowiedzionego wyżej twierdzenia, każdy z wielomianów $P, Q, R, \ldots$ jest wielomianem zmiennych $u = x + y$ i $v = xy$ stopnia $\leq n$ , którego współczynniki są utworzone ze współczynników wielomianu $W (x, y)$ , jako ich funkcje liniowe o współczynnikach całkowitych; to samo dotyczy zatem sumy wielomianów $P, Q, R, \ldots$ , czyli wielomianu $W (x, y)$ , c.n.d.

Powróćmy do poprzedniego zadania. Jeśli oznaczymy $y = - z$ , to $x^5 - y^5 = x^5 + z^5$ jest funkcją symetryczną zmiennych $x$ i $z$ , zatem na mocy twierdzenia, które poznaliśmy, jest wielomianem zmiennych $x + z$ i $xz$ ; stąd zaś wynika, że $x^5 - y^5$ jest wielomianem zmiennych $x - y$ i $-xy$ , a więc również zmiennych $x - y$ i $xy$ , jak to stwierdziliśmy w rozwiązaniu zadania.