VIII OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

VIII OM, 1956-1957

Etap:

Dowieść, że dla każdego trójkąta zachodzą nierówności

$ (1) \qquad \frac{1}{2r} < \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} < \frac{1}{r}, $

gdzie $r$ oznacza promień koła wpisanego w trójkąt, a $h_1$ i $h_2$ - dwie wysokości tego trójkąta.

Rozwiązanie

Niech $S$ oznacza pole trójkąta, $2p=a+b+c$ - jego obwód, przy czym $a$ i $b$ są tymi bokami trójkąta, na które opuszczono odpowiednio wysokości $h_1$ i $h_2$ . Nierówności (1) są równoważne nierównościom

$ (2) \qquad \frac{2S}{2r} < \frac{2S}{h_1} + \frac{2S}{h_2} < \frac{2S}{r}. $

Ponieważ $\frac{S}{r} = p = \frac{a+b+c}{2}$ , $\frac{2S}{h_1} = a$ , $\frac{2S}{h_2} = b$ , więc nierówności (2) możemy napisać w postaci

$ (3) \qquad \frac{a + b + c}{2} < a + b < a + b + c. $

Wreszcie, odejmując od każdej strony nierówności (3) po $c$ otrzymujemy nierówności równoważne

$ (4) \qquad \frac{a + b - c}{2} < a + b - c < a + b. $

Otóż nierówności (4) są prawdziwe, gdyż $a + b - c > 0$ i $c > 0$ ; w takim razie prawdziwe są też nierówności (1), gdyż są one równoważne nierównościom (4).