VIII OM - I - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

VIII OM, 1956-1957

Etap:

Przez punkt $A$ leżący na zewnątrz danego okręgu $K$ poprowadzić prostą, która by przecięła ten okrąg w punktach $B$ i $C$ w ten sposób, że $AB = BC$ .

Rozwiązanie

Niech $AB$ (rys. 1) będzie prostą poszukiwaną, a $D$ - punktem symetrycznym do punktu $O$ względem środka $B$ . Ponieważ punkty $A$ i $C$ też są symetryczne względem punktu $B$ , więc $AD = OC$ . Punkt $D$ jest zatem punktem wspólnym okręgów o środkach $A$ i $O$ oraz promieniach $AD = R$ i $OD = 2R$ . Punkt taki istnieje, jeżeli spełniony jest warunek

$<br /> 2R - R \leq AO \leq 2R + R.<br />$