VIII OM - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

VIII OM, 1956-1957

Etap:

Jaki warunek powinna spełniać liczbą $q$ , aby istniał trójkąt, którego boki tworzą postęp geometryczny o ilorazie $q$ ?

Rozwiązanie

Weźmy pod uwagę trzy odcinki, których długości tworzą postęp geometryczny o ilorazie $q$ . Ponieważ stosunek dwóch odcinków jest liczbą niezależną od jednostki, jaką te odcinki mierzymy, więc jeśli za jednostkę obierzemy pierwszy z rozważanych trzech odcinków, to długości tych odcinków wyrażą się liczbami $1$ , $q$ , $q^2$ . Aby istniał trójkąt, którego boki są odpowiednio równe tym odcinkom, potrzeba i wystarcza żeby suma każdych dwóch spośród tych odcinków była większa od trzeciego odcinka, tj. żeby spełnione były warunki: 1) $1 + q^2 > q$ , 2) $q + q^2 > 1$ , 3) $1 + q > q^2$ , którym możemy nadać postać:

$ 1)\ q^2 - q + 1 > 0,\quad 2)\ q^2 + q - 1 > 0,\quad 3)\ q^2 - q - 1 < 0. $

Warunek 1) jest spełniony dla każdej wartości $q$ , gdyż wyróżnik trójmianu kwadratowego $q^2 - q + 1$ jest ujemny, $\Delta = - 3$ , więc trójmian ma stale wartość dodatnią. Warunek 2) jest spełniony dla wartości $q$ leżących po za pierwiastkami trójmianu $q^2 + q - 1$ , tzn. gdy

$ (4) \qquad q < \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \textrm{ lub } q < \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}. $

Warunek 3) jest spełniony dla wartości $q$ leżących między pierwiastkami trójmianu $q^2 - q - 1$ , tzn. gdy

$ (5) \qquad \frac{1 - \sqrt{5}}{2} < q < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}. $

Ponieważ $\frac{-1 - \sqrt{5}}{2} < \frac{1 - \sqrt{5}}{2} < \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ , więc ostatecznie otrzymujemy dla $q$ warunek następujący:

$ (6) \qquad \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} < q < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}. $

Uwaga. Liczby $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$ i $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ są odwrotnościami, gdyż ich iloczyn $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1$ . Stąd wynika, że jeśli pewna liczba $q$ spełnia warunek (6), to jej odwrotność $\frac{1}{q}$ też spełnia warunek (6) (rys. 3). Fakt ten był do przewidzenia; jeśli bowiem boki trójkąta wzięte w pewnej kolejności tworzą postęp geometryczny o ilorazie $q$ , to w odwrotnej kolejności dadzą one postęp geometryczny o ilorazie $\frac{1}{q}$ . Długość otrzymanego przedziału dla $q$ wynosi $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} - \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} =1$ . Łatwo sprawdzić, ze liczby $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ i $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ są jedyną parą liczb, które są odwrotnościami i których różnica równa się $1$ .