VIII OM - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

VIII OM, 1956-1957

Etap:

Znaleźć liczbę czterocyfrową, której dwie pierwsze cyfry są jednakowe, dwie ostatnie cyfry są jednakowe i która jest kwadratem liczby całkowitej.

Rozwiązanie

Jeżeli $x$ jest liczbą poszukiwaną, to

$ x = 1000a + 100a + 10b + b, $

gdzie $a$ i $b$ są liczbami całkowitymi spełniającymi nierówności $0 < a \leq 9$ , $0 \leq b \leq 9$ . Liczba $x$ jest podzielna przez $11$ , gdyż

$ x = 1100 a + 11 b = 11 (100 a + b). $

Ponieważ $x$ jest kwadratem liczby całkowitej, więc będąc podzielną przez $11$ musi być podzielna przez $11^2$ , zatem liczba

$ 100 a + b = 99 a + (a + b) $

jest podzielna przez $11$ . Stąd wynika, że $a + b$ jest podzielne przez $11$ , a ponieważ $0 < a + b \leq 18$ , więc $a + b = 11$ . Wobec tego

$ x = 11^2 (9a + 1), $

skąd wnosimy, że $9a + 1$ jest kwadratem pewnej liczby naturalnej $m$ :

$ 9a + 1 = m^2. $

Ponieważ $9a + 1 \leq 82$ , więc $m \leq 9$ .

Według powyższego

$ 9a = (m + 1) (m - 1). $

Z równości tej wynika, że iloczyn $(m + 1) (m - 1)$ jest podzielny przez $9$ , a ponieważ najwyżej jedna z liczb $m + 1$ i $m - 1$ jest podzielna przez $3$ , więc jedna z nich jest podzielna przez $9$ . Biorąc pod uwagę, że liczba naturalna $m$ jest mniejsza niż $10$ , wnioskujemy stąd, że $m + 1 = 9$ , zatem $m = 8$ . W takim razie $a = 7$ , $b = 4$ i poszukiwaną liczbą, jest $7744 = (88)^2$ .