Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

VIII OM - I - Zadanie 8

Zawody matematyczne:

VIII OM, 1956-1957

Etap:

I

W prostopadłościanie $ABCDA_1B_1C_1D_1$ dane są długości krawędzi $AA_1 = a$ , $AB = b$ , $AD = c$ . Na ścianie $A_1B_1C_1D_1$ obrano punkt $M$ w odległości $p$ od boku $A_1B_1$ , a w odległości $q$ od boku $A_1D_1$ i zbudowano równoległościan o podstawie $ABCD$ i krawędzi bocznej $AM$ . Obliczyć pole ścian bocznych tego równoległościanu.

Rozwiązanie

Przyjmując oznaczenia wskazane na rysunku $5$ obliczamy pole równoległoboku $AMQD$ będącego ścianą równoległościanu $ABCDMNPQ$ .

Równoległbbok $AMQD$ i prostokąt $AKLD$ mają wspólną podstawę $AD$ i wysokość $AK$ , zatem

$<br /> \textrm{pole }AMQD = \textrm{pole }AKLD = AK \cdot KL.<br />$

Lecz $AK = \sqrt{AA_1^2 + A_1K^2} = \sqrt{a^2 + q^2},\ KL = AD = c$ ; stąd

$<br /> \textrm{pole }AMQD = c \sqrt{a^2 + q^2}.<br />$

Analogicznie obliczymy, że pole $AMNB = b \sqrt{a^2 + p^2}$ .

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/1595