VIII OM - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

VIII OM, 1956-1957

Etap:

Dowieść, że ze wszystkich czworokątów wpisanych w dane koło kwadrat ma największe pole.

Rozwiązanie

Niech $ABCD$ będzie czworokątem wpisanym w koło o środku $O$ i promieniu $r$ ; oznaczmy kąty $AOB$ , $BOC$ , $COD$ , $DOA$ odpowiednio literami $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ . Jeżeli środek koła $O$ leży wewnątrz czworokąta, to (rys. 6 a)

$ \textrm{pole }ABCD = \textrm{pole }AOB + \textrm{pole }BOC + \textrm{pole }COD + \textrm{pole }DOA, $

czyli

$ \textrm{pole }ABCD = \frac{r^2}{2} (\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma + \sin \delta), $

zatem

$ \textrm{pole } ABCD \leq 2r^2, $

przy czym równość zachodzi tylko wtedy, gdy $\sin \alpha = \sin \beta = \sin \gamma = \sin \delta = 1$ , tzn. gdy $\alpha = \beta = \gamma= \sigma = 90^\circ$ , co oznacza, że czworokąt $ABCD$ jest kwadratem.

Jeżeli środek koła leży na zewnątrz czworokąta $ABCD$ lub na jego obwodzie (rys. 6b), to pole czworokąta jest mniejsze od pola półkola $\frac{1}{2} \pi r^2$ , a więc tym bardziej mniejsze od $2r^2$ , tj. od pola kwadratu wpisanego w dane koło.

Uwaga. Twierdzenie, które udowodniliśmy wyżej, jest przypadkiem szczególnym twierdzenia:

Ze wszystkich wielokątów wpisanych w dane koło i mających daną ilość $n$ boków największe pole ma wielokąt foremny.

Przypuśćmy, że wpisany w koło wielokąt $ABCD \ldots$ (rys. 7) o $n$ bokach nie jest foremny, niech na przjddad $AB < BC$ . Jeśli $M$ jest środkiem łuku $ABC$ , to trójkąt $AMC$ ma względem boku $AC$ większą wysokość niż trójkąt $ABC$ , zatem $\textrm{pole }AMC > \textrm{pole }ABC$ . W takim razie pole wielokąta $AMCD \ldots$ który ma też $n$ boków jest większe od pola wielokąta $ABCD \ldots$ . Okazało się więc, że wielokąt nieforemny $ABCD\ldots$ nie może być poszukiwanym wielokątem o największym polu. Czy stąd wynika, że owym największym wielokątem jest wielokąt foremny? Wnioskowanie takie byłoby błędne, gdyż nie wiadomo jeszcze, czy wielokąt o największym polu rzeczywiście istnieje. Powyższe rozumowanie stwierdza tylko to, że jeżeli istnieje taki wielokąt o $n$ bokach wpisany w dane koło, który ma największe pole, to wielokąt ten jest foremny. Trzeba jeszcze dowieść, że wielokąt foremny ma istotnie większe pole, niż każdy inny wielokąt o tej samej liczbie boków wpisany w to samo koło. Niech $ABCD\ldots$ (rys. 8) będzie wielokątem nieforemnym o $n$ bokach wpisanym w dane koło. Jeżeli koło rozetniemy na $n$ wycinków: $AOB, BOC, COD, \ldots$ , to możemy z tych wycinków znowu złożyć koło układając je w dowolnej kolejności jeden obok drugiego. Cięciwy tych wycinków utworzą znowu wielokąt o polu równym polu wielokąta pierwotnego $ABCD\ldots$ i o takich samych bokach; możemy przyjąć, że dwa dowolnie obrane boki wielokąta $ABCD$ w nowym wielokącie ze sobą sąsiadują. Niech $a_n$ oznacza bok $n$ -kąta foremnego wpisanego w dane koło. Jeżeli wielokąt $ABCD\ldots$ nie jest foremny, to musi on mieć jakiś bok dłuższy niż $a_n$ , a zarazem jakiś bok krótszy niż $a_n$ ; na mocy poprzedniego objaśnienia możemy przyjąć, że np. $AB > a_n$ , a $BC < a_n$ . Niech $M$ będzie takim punktem łuku $ABC$ , że $AM = a_n$ . Wówczas pole trójkąta $AMB$ jest większe od pola trójkąta $CMB$ , gdyż oba trójkąty mają wspólną podstawę $MB$ , a $AM > BC$ , więc punkt $A$ leży dalej od prostej $MB$ niż punkt $C$ . Zatem $\textrm{pole }AOM + \textrm{pole }MOC = \textrm{pole }AOB + \textrm{pole BOC} + \textrm{pole }AMB - \textrm{pole }CMB > \textrm{pole }AOB + \textrm{pole }BOC$ . Stąd wynika, że pole wielokąta $AMCD\ldots$ o $n$ bokach, który otrzymujemy, zastępując w wielokącie $ABCD\ldots$ wierzchołek $B$ punktem $M$ , jest większe od pola wielokąta $ABCD\ldots$ , przy czym wielokąt $AMCD\ldots$ ma co najmniej jeden bok równy $a_n$ . Jeżeli wielokąt $AMCD\ldots$ nie jest foremny, to możemy założyć, że np. $CD > a_n$ , $DE < a_n$ i zastąpić wierzchołek $D$ takim punktem $N$ łuku $CDE$ , że $CN = a_n$ . Otrzymany wielokąt $AMCNE \ldots$ ma pole większe niż wielokąt $AMCD\ldots$ więc tym bardziej większe niż wielokąt $ABCD\ldots$ , przy czym ma on co najmniej dwa boki równe $a_n$ . Jeśli nie jest on jeszcze foremny, postępujemy w opisany sposób dalej; najpóźniej za $(n - 1)$ -szym razem dojdziemy do wielokąta o polu większym niż pole $ABCD\ldots$ , którego wszystkie boki są równe $a_n$ , tj. do wielokąta foremnego. Twierdzenie zostało więc udowodnione.