VIII OM - I - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

VIII OM, 1956-1957

Etap:

Udowodnić, że:

1) $n$ prostych leżących na płaszczyźnie, z których każde dwie przecinają się, ale żadne trzy nie przechodzą przez jeden punkt, dzieli płaszczyznę na $\frac{1}{2} (n^2 + n + 2)$ części;

2) $n$ płaszczyzn, z których każde trzy mają jeden i tylko jeden punkt wspólny, ale żadne cztery nie przechodzą przez jeden punkt, dzieli przestrzeń na $\frac{1}{6} (n^3 + 5n + 6)$ części.

Rozwiązanie

1. Zastosujemy indukcję zupełną. Jedna prosta dzieli płaszczyznę, na $2$ części. Ponieważ wyrażenie $\frac{1}{2} (n^2 + n + 2)$ ma dla $n = 1$ wartość $\frac{1}{2} (1^2 + 1 + 2) = 2$ , więc twierdzenie jest w przypadku $n =1$ prawdziwe. Dajmy na to, że jest ono prawdziwe, gdy $n = k$ i weźmy pod uwagę $k + 1$ prostych $l_1, l_2,\ldots, l_k, l_{k+1}$ płaszczyzny spełniających założenie twierdzenia. Proste $l_1, l_2,\ldots, l_k$ dzielą wówczas płaszczyznę na $\frac{1}{2} (k^2 + k + 2)$ obszarów. Prosta $l_{k+1}$ przecina według założenia proste $l_1, l_2,\ldots, l_k$ odpowiednio w punktach $A_1, A_2, \ldots, A_k$ (rys. 10), które są wszystkie różne; istotnie, gdyby np. punkty $A_1$ i $A_2$ pokrywały się, to przez ten sam punkt przechodziłyby $3$ proste $l_1$ , $l_2$ i $l_{k+1}$ wbrew założeniu. Punkty $A_1, A_2, \ldots, A_k$ dzielą prostą $l_{k+1}$ na $k + 1$ części; każda z tych części leży w jednym z obszarów płaszczyzny wyznaczonych przez proste $l_1, l_2,\ldots, l_k$ i rozcina ten obszar na $2$ części. Zatem, przez dołączenie prostej $l_{k+1}$ do prostych $l_1, l_2,\ldots, l_k$ liczba obszarów, na jakie płaszczyzna zostaje rozcięta wzrasta o $k + 1$ . Ilość obszarów wyznaczonych przez proste $l_1, l_2,\ldots, l_k, l_{k+1}$ wynosi więc

$ \frac{k^2 + k + 2}{2} + k + 1 = \frac{(k + 1)^2 + (k + 1) + 2}{2}, $

a to oznacza, że nasze twierdzenie jest prawdziwe, gdy $n = k + 1$ .

Przez indukcję wnosimy stąd, że twierdzenie jest prawdziwe dla każdego naturalnego $n$ .

2. Dowód drugiego twierdzenia jest analogiczny. Jedna płaszczyzna dzieli przestrzeń na $2$ części, a ponieważ wyrażenie $\frac{1}{6} (n^3 + 5n + 6)$ ma dla $n = 1$ wartość $2$ , więc twierdzenie jest w przypadku $n = 1$ prawdziwe. Przypuśćmy, że jest ono prawdziwe dla $n = k$ i weźmy pod uwagę $k + 1$ płaszczyzn $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_k, \alpha_{k+1}$ spełniających założenie twierdzenia. Płaszczyzny $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_k$ , dzielą wówczas przestrzeń na $\frac{1}{6} (k^3 + 5k + 6)$ obszarów. Płaszczyzna $\alpha_{k+1}$ przecina zgodnie z założeniem płaszczyzny $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_k$ odpowiednio według prostych $l_1, l_2, \ldots, l_k$ ; przy czym łatwo stwierdzić, że te proste są wszystkie różne, przecinają się parami, ale żadne $3$ z nich nie przechodzą przez jeden punkt. Istotnie, dwie z tych prostych, na przykład proste $l_1$ i $l_2$ , nie mogą być równoległe ani się pokrywać, gdyż według założenia płaszczyzny $\alpha_1$ , $\alpha_2$ i $\alpha_{k+1}$ mają jeden i tylko jeden punkt wspólny. Trzy z prostych, na przykład $l_1$ , $l_2$ , $l_3$ nie mogą przechodzić przez jeden punkt, gdyż byłby to punkt wspólny płaszczyzn $\alpha_1$ , $\alpha_2$ , $\alpha_{k+1}$ , co przeczyłoby założeniu. Proste $l_1, l_2, \ldots, l_k$ spełniają więc założenia twierdzenia 1°, dzielą zatem płaszczyznę $\alpha_{k+1}$ na $\frac{1}{2} (k^2 + k + 1)$ części. Każda z tych części płaszczyzny $\alpha_{k+1}$ leży w jednym z obszarów przestrzeni wyznaczonych przez płaszczyzny $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_k$ i rozcina go na $2$ części. Przez dołączenie płaszczyzny $\alpha_{k+1}$ do płaszczyzn $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_k$ liczba obszarów, na jakie rozcięta zostaje przestrzeń, zwiększa się więc o $\frac{1}{2} (k^2 + k + 1)$ . Ilość obszarów wyznaczonych przez płaszczyzny $\alpha_1, \alpha_2, \ldots \alpha_k, \alpha_{k+1}$ wynosi zatem