VIII OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

VIII OM, 1956-1957

Etap:

Dowieść, że jeżeli $n$ jest liczfią całkowitą, to

$ \frac{n^5}{120} - \frac{n^3}{24} + \frac{n}{30} $

jest też liczbą całkowitą.

Rozwiązanie

Ponieważ

$ \frac{n^5}{120} - \frac{n^3}{24} + \frac{n}{30} = \frac{n^5 - 5n^3 + 4n}{120} = \frac{n (n^2 - 1) (n^2 - 4)}{120} $

więc wystarczy udowodnić, że liczba $N = n (n^2 - 1) (n^2 - 4)$ jest podzielna przez $120$ . Otóż liczba $N$ równa $(n - 2) (n - 1) n (n + 1) (n+2)$ jest iloczynem pięciu kolejnych liczb naturalnych. Wśród takich liczb co najmniej dwie są parzyste, co najmniej jedna jest podzielna przez $4$ , co najmniej jedna jest podzielna przez $3$ , jedna zaś jest podzielna przez $5$ . Liczba $N$ jest więc na pewno podzielna przez $2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 5 = 120$ .