VIII OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

VIII OM, 1956-1957

Etap:

Dowieść, że jeżeli $M$ , $N$ , $P$ są spodkami wysokości trójkąta ostrokątnego $ABC$ , to stosunek obwodu trójkąta $MNP$ do obwodu trójkąta $ABC$ jest równy stosunkowi promienia kola wpisanego w trójkąt $ABC$ do promienia koła opisanego na trójkącie $ABC$ .

Rozwiązanie

Przyjmując oznaczenia wskazane na rys. 14 wykażemy najpierw, że $\measuredangle 1 = \measuredangle 2$ . Istotnie, wierzchołki czworokąta $ANHP$ leżą na okręgu, gdyż kąty tego czworokąta przy wierzchołkach $N$ i $P$ są proste. Zatem $\measuredangle 1 = \measuredangle AHP$ , jako kąty wpisane, oparte na tej samej cięciwie $AP$ . Analogicznie $\measuredangle 2 = \measuredangle CHM$ . Lecz $\measuredangle AHP= = \measuredangle CHM$ , gdyż są to kąty wierzchołkowe; zatem $\measuredangle 1 = \measuredangle 2$ .

W taki sam sposób stwierdzimy, że $\measuredangle 3 = \measuredangle 4$ .

Niech teraz $M'$ będzie punktem symetrycznym do punktu $M$ względem prostej $AC$ , a $M''$ - punktem symetrycznym do tegoż punktu $M$ względem prostej $AB$ . Punkty $M'$ , $N$ , $P$ , $M''$ leżą na jednej prostej, gdyż $\measuredangle M'NC = \measuredangle 2 = \measuredangle 1$ , a $\measuredangle M''PB = \measuredangle 4 = \measuredangle 3$ . Wobec tego długość odcinka $M'M''$ równa się obwodowi trójkąta $MNP$ . Zauważmy, że w trójkącie $AM'M''$ każdy z boków $AM'$ i $AM''$ równa się wysokości $AM = h_a$ trójkąta $ABC$ , a $\measuredangle M'AM'' = \measuredangle M'AM + \measuredangle MAM'' = 2 \cdot \measuredangle CAM + 2 \cdot \measuredangle MAB = 2 \cdot \measuredangle A$ . Stosując do $\triangle AM'M''$ twierdzenie cosinusów otrzymujemy