VIII OM - II - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

VIII OM, 1956-1957

Etap:

Dany jest sześcian o krawędzi $AB = a$ cm. Punkt $M$ odcinka $AB$ jest odległy od przekątnej sześcianu, skośnej względem $AB$ , o $k$ cm. Znaleźć odległość punktu $M$ od środka $S$ odcinka $AB$ .

Rozwiązanie

Jeżeli wierzchołki sześcianu oznaczymy jak na rys. 15, przekątnymi sześcianu skośnymi do krawędzi $AB$ będą $A_1C$ i $B_1D$ . Są one do siebie symetryczne względem płaszczyzny symetralnej odcinka $AB$ , wobec czego jest obojętne, o której z nich jest mowa w zadaniu. Niech na przykład $MN = k$ będzie odległością punktu $M$ od przekątnej $A_1C$ .

Niech $MS = x$ , wówczas

$ A_1M = \sqrt{AM^2 + AA_1^2} = \sqrt{ \left( \frac{a}{2} - x \right)^2 + a^2} = \sqrt{ x^2 - ax + \frac{5a^2}{4}}, $

$ MC = \sqrt{MB^2 + BC^2} = \sqrt{ \left( \frac{a}{2} + x \right)^2 + a^2} = \sqrt{ x^2 + ax + \frac{5a^2}{4}}, $

$A_1C = a \sqrt{3}$ , pole $S$ trójkąta $A_1MC$ równa się $\frac{1}{2} A_1C \cdot MN = \frac{1}{2}ak \sqrt{3}$ . Stosując do $\triangle A_1MC$ wzór Herona w postaci użytej w zadaniu 14 (sposób 1), otrzymujemy równanie

$ \begin{split} & 2 \left( x^2 - ax + \frac{5}{4}a^2 \right) \left( x^2 + ax + \frac{5}{4}a^2 \right) + 6a^2 \left( x^2 - ax + \frac{5}{4}a^2 \right) + \\ & + 6a^2 \left. \left( x^2 + ax + \frac{5}{4}a^2 \right) - \right[ \left( x^2 - ax + \frac{5}{4}a^2 \right) + \left. \left( x^2 + ax + \frac{5}{4}a^2 \right) + 9a^4 \right] = \\ & = 16 \cdot \left( \frac{1}{2} ak \sqrt{3}\right)^2 , \end{split} $

a stąd, po uproszczeniu, równanie

$ 4x^2 = 6k^2 - 3a^2. $

Równanie to ma pierwiastki rzeczywiste, o ile spełniony jest warunek $k \geq \frac{a}{\sqrt{2}}$ ; wówczas pierwiastkami równania są liczby

$ x = \frac{1}{2} \sqrt{6k^2 - 3a^2} \textrm{ i } x = -\frac{1}{2} \sqrt{6k^2 - 3a^2} $

odpowiadające dwóm symetrycznym położeniom punktu $M$ po obu stronach punktu $S$ na prostej $AB$ . Ponieważ punkt $M$ leży na odcinku $AB$ , więc $|x| \leq \frac{a}{2}$ ; $k$ powinno zatem spełniać warunek

$ k \leq \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}. $

Uwaga. Na rzucie równoległym $ABCDA_1B_1C_1D_1$ sześcianu (rys. 15) punkt $N$ można znaleźć w sposób następujący. Na przedłużeniu $BA$ odmierzamy $A(C) = a \sqrt{2}$ , wówczas $A_1(C) = a\sqrt{3}$ przedstawia przekątną sześcianu w naturalnej wielkości. Budujemy trójkąt $A_1(C) (M)$ , w którym $A_1(M) = AM$ a $(C) (M) = MB_1$ , tzn. $(C) (M)$ przedstawia odcinek $MC$ w naturalnej wielkości. Wobec tego trójkąt $A_1(C) (M)$ przedstawia trójkąt $A_1CM$ w naturalnej wielkości. Następnie prowadzimy $(M) (N) \bot A_1(C)$ i dzielimy odcinek $A_1C$ w stosunku $A_1(N) \colon (N) (C)$ prowadząc $(N)N$ równolegle do $(C)C$ . Otrzymany punkt $N$ jest punktem żądanym, gdyż rzutowanie równoległe nie zmienia stosunku podziału odcinka.