VIII OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

VIII OM, 1956-1957

Etap:

Dowieść, że jeżeli $a > 0$ , $b > 0$ , $c > 0$ , to

$ \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c+ a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}. $

Rozwiązanie

Oznaczamy

$ b + c = u,\ c + a = v,\ a + b = w, $

wówczas

$ a = \frac{v + w - u}{2},\ b = \frac{u + w - v}{2},\ c = \frac{u + v - w}{2}, $

zatem

$ \begin{split} \frac{a}{b+c} & + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} = \frac{1}{2} \left( \frac{v + w - u}{u} + \frac{u + w - v}{v} + \frac{u + v - w}{w} \right)=\\ & = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{u}{v} + \frac{v}{u} \right) + \left( \frac{v}{w} + \frac{w}{v} \right) + \left( \frac{w}{u} + \frac{u}{w} \right) - 3 \right] \geq \frac{1}{2}(2 + 2 + 2 - 3) = 1 \end{split} $

W powyższym rachunku korzystaliśmy z tego, że gdy $x > 0$ i $y > 0$ , to

$ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2 + y^2}{xy} - 2 + 2 = \frac{(x - y)^2}{xy} + 2 \geq 2. $

Uwaga. Dowiedzione twierdzenie jest przypadkiem szczególnym twierdzenia następującego:

Jeżeli $a_1 > 0, a_2 > 0, \ldots, a_n > 0$ , to

$ \frac{a_1}{a_2 + a_3 + \ldots + a_n} + \frac{a_2}{a_1 + a_3 + \ldots + a_n} + \ldots + \frac{a_n}{a_1 + a_2 + \ldots + a_{n-1}} \geq \frac{n}{n-1}. $

Aby tego dowieść zastosujemy takie samo przekształcenie jak poprzednio. Wprowadzając oznaczenia

$ u_1 = a_2 + a_3 + \ldots + a_n,\ u_2 = a_1 + a_3 + \ldots + a_n,\ \ldots,\ a_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_{n-1} $

otrzymujemy

$ a_1 + a_2 + \ldots + a_n = \frac{u_1 + u_2 + \ldots + u_n}{n-1}, $

a stąd

$a_1 = \frac{u_1 + u_2 + \ldots + u_n}{n-1} - u_1 = \frac{u_2 + \ldots + u_n - (n-2)u_1}{n-1},$

$a_2 = \frac{u_1 + u_2 + \ldots + u_n}{n-1} - u_2 = \frac{u_1 + u_3 + \ldots + u_n - (n-2)u_2}{n-1},$

$\ldots$

$a_1 = \frac{u_1 + u_2 + \ldots + u_n}{n-1} - u_1 = \frac{u_2 + \ldots + u_n - (n-2)u_1}{n-1},$

$a_n = \frac{u_1 + u_2 + \ldots + u_{n-1}}{n-1} - u_n = \frac{u_1 + u_2 + \ldots + u_{n-1} - (n-2)u_n}{n-1},$

zatem

$ \begin{split} & \frac{a_1}{a_2 + a_3 + \ldots + a_n} + \frac{a_2}{a_1 + a_3 + \ldots + a_n} + \ldots + \frac{a_n}{a_1 + a_2 + \ldots + a_{n-1}} = \\ & = \frac{1}{n-1} \left[ \left( \frac{u_1}{u_2} + \frac{u_2}{u_1} \right) + \left( \frac{u_1}{u_3} + \frac{u_3}{u_1} \right) + \ldots + \left( \frac{u_{n-1}}{u_n} + \frac{u_n}{u_{n-1}} \right) - n(n-2) \right] \geq \\ & \geq \frac{1}{n-1} [\underbrace{2 + 2 + \ldots + 2}_{\frac{1}{2}n(n-1) \textrm{ razy}} - n (n - 2)] = \frac{1}{n-1} (n^2 - n - n^2 + 2n) = \frac{n}{n-1}. \end{split} $