Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

Strona główna > Wersja do wydruku > Wersja do wydruku

VIII OM - II - Zadanie 5

Zawody matematyczne: 
VIII OM, 1956-1957
Etap: 
II

Dany jest odcinek $ AB $ i prosta $ m $ równoległa do tego odcinka. Znaleźć środek odcinka $ AB $ używając samej linijki, tzn. rysując tylko linie proste.

Rozwiązanie

Obieramy dowolnie punkt $ C $ leżący po przeciwnej stronie prostej $ m $ niż odcinek $ AB $ (rys. 16). Odcinki $ AC $ i $ BC $ przecinają prostą $ m $ w punktach, które oznaczymy odpowiednio literami $ D $ i $ E $. Dalej oznaczymy punkt przecięcia przekątnych trapezu $ ABED $ literą $ F $, a punkty przecięcia prostej $ CF $ z prostymi $ m $ i $ AB $ odpowiednio literami $ T $ i $ S $. Dowiedziemy, że punkt $ S $, który wyznaczyliśmy rysując tylko proste, jest środkiem $ AB $.

Proste $ AB $ i $ m $ możemy uważać za proste jednokładne względem środka $ C $, a także względem środka $ F $.

W jednokładności względem środka $ C $ punktom $ A $, $ S $, $ B $ odpowiadają punkty $ D $, $ T $, $ E $, zatem

\[<br /> (1) \qquad \frac{AS}{SB} = \frac{DT}{TE}.<br /> \]

W jednokładnści względem środka $ F $ punktom $ A $, $ S $, $ B $ odpowiadają punkty $ E $, $ T $, $ D $, zatem

\[<br /> (2) \qquad \frac{AS}{SB} = \frac{ET}{TD}.<br /> \]

Mnożąc równości (1) i (2) stronami otrzymujemy

\[<br /> \left( \frac{AS}{SB} \right)^2 = 1 \textrm{ zatem } AS = SB \textrm{ c. n. d}<br /> \]
© Prawa autorskie Polskie Towarzystwo Matematyczne | Serwis znajduje się na serwerze MIMUW | Projekt: Krystyna Jaworska | Realizacja: Paweł Witkowski INTools, Tomasz Filar
Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/1603