VIII OM - II - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

VIII OM, 1956-1957

Etap:

Dowieść, że jeżeli czworokąt wypukły ma tę własność, że istnieje okrąg styczny do jego boków (tzn. okrąg wpisany), a także okrąg styczny do przedłużeń jego boków (okrąg dopisany), to przekątne czworokąta są do siebie prostopadłe.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że czworokąt wypukły $ABCD$ (rys. 17) spełnia wymienione wyżej warunki.

1. Z założenia, że istnieje okrąg wpisany w czworokąt, wynika, że sumy boków przeciwległych czworokąta są równe, tj.

$ (1) \qquad AB + DC = AD + BC. $

2. Z założenia, że istnieje okrąg styczny do przedłużeń boków czworokąta wynika według oznaczeń przyjętych na rys. 17.

$ \begin{array}{c} (2) \qquad AB = AM- BM,\\ BC = BN - CN,\\ DC = DP - CP,\\ AD= AQ - DQ. \end{array} $

Ze związków (2) otrzymujemy

$ AB - DC = AM - BM - DP + CP, $

$ AD - BC = AQ - DQ - BN + CN, $

a ponieważ według znanego twierdzenia o stycznych do okręgu

$ AM = AQ,\ BM = BN,\ CN = CP,\ DP = DQ, $

więc

$ (3) \qquad AB - DC = AD - BC. $

Dodajemy i odejmujemy (1) i (3) stronami; po skróceniu przez $2$ otrzymujemy

$ (4) \qquad AB = AD,\ BC = DC. $

Z równości (4) wynika, że czworokąt $ABCD$ jest deltoidem. Ponieważ przekątne deltoidu są prostopadłe (gdyż wierzchołki $B$ i $D$ leżą symetrycznie względem przekątnej $AC$ ), więc twierdzenie zostało udowodnione.

Uwaga 1. Jeżeli czworokąt jest deltoidem, jego przekątne są prostopadłe, ale nie na odwrót, gdyż czworokąt o prostopadłych przekątnych tylko wtedy jest deltoidem, gdy jedna z tych przekątnych jest osią symetrii czworokąta. W powyższym rozwiązaniu udowodniliśmy zatem twierdzenie mocniejsze od twierdzenia podanego w tekście zadania 18.

Uwaga 2. Zachodzi również twierdzenie odwrotne: Jeżeli czworokąt jest deltoidem (wypukłym), to istnieje zarówno okrąg styczny do jego boków jak okrąg styczny do przedłużeń boków. Wynika to natychmiast z faktu, że jedna z przekątnych deltoidu np. $AC$ (rys. 18) jest jego osią symetrii. Wobec tej symetrii okrąg, którego środek leży na prostej $AC$ i który jest styczny do boków $AB$ i $BC$ (bądź do przedłużeń boków $AB$ i $BC$ ) jest również styczny do boków $AD$ i $DC$ (bądź do przedłużeń boków $AD$ i $DC$ ).

Uwaga 3. Rozumowanie użyte wyżej przy rozwiązaniu zadania 18 zawiera pewną lukę. Mianowicie wzory (2) wysnuliśmy z obserwacji rysunku 17, nie zastanawiając się nad tym, czy wzajemne położenie rozważanych punktów musi być zawsze takie, jak na tym rysunku. Dokładniej mówiąc, chodzi o to, czy wierzchołki czworokąta wypukłego mającego okrąg dopisany można zawsze tak oznaczyć literami $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , aby punkty styczności tego okręgu z przedłużeniami boków czworokąta znajdowały się na półprostych $AB$ , $BC$ , $DC$ , $AD$ jak to ma właśnie miejsce na rys. 17. Udowodnimy, że tak jest istotnie.

Weźmy pod uwagę jeden z boków danego czworokąta wypukłego i prostą $m$ , na której leży ten bok. Rozróżnimy dwa przypadki.

a) Czworokąt i okrąg dopisany znajduje się po tej samej stronie prostej $m$ . W takim razie, punkt styczności prostej $m$ z okręgiem oznaczymy literą $M$ , a wierzchołki boku leżącego na prostej $m$ oznaczymy literami $A$ i $B$ w taki sposób, żeby punkt $M$ leżał na półprostej $AB$ . Pozostałe wierzchołki oznaczymy literami $C$ i $D$ w ten sposób, aby na obwodzie czworokąta otrzymać kolejność $A$ , $B$ , $C$ , $D$ . Wreszcie punkty styczności prostych $BC$ , $CD$ , $DA$ z okręgiem dopisanym oznaczymy odpowiednio literami $N$ , $P$ , $Q$ .

Wówczas punkt $N$ leży na półprostej $BC$ , a punkt $Q$ - na półprostej $AD$ , gdyż punkty $C$ i $N$ a także punkty $D$ i $Q$ znajdują się po tej samej stronie prostej $m$ . Punkt $P$ zaś leży na półprostej $DC$ , gdyż punkty $D$ i $P$ leżą po przecjwnych stronach prostej $BC$ (albowiem czworokąt i okrąg znajdują się po przeciwnych stronach prostej $BC$ ). Mamy więc takie położenie wzajemne punktów figury, jak na rys. 17 i zachodzą wzory (2).

b) Czworokąt i okrąg dopisany znajdują się po przeciwnych stronach prostej $m$ . W tym przypadku punkt styczności prostej $m$ z okręgiem oznaczamy literą $N$ , a wierzchołki boku leżącego na prostej $m$ oznaczamy literami $B$ i $C$ w taki sposób, żeby punkt $N$ leżał na półprostej $BC$ . Pozostałe wierzchołki oznaczamy literami $D$ i $A$ w ten sposób, żeby na obwodzie czworokąta otrzymać kolejność $B$ , $C$ , $D$ , $A$ ; wreszcie punkty styczności prostych $CD$ , $DA$ , $AB$ z okręgiem dopisanym oznaczamy odpowiednio literami $P$ , $Q$ , $M$ . Sprawdzamy jak w a), że punkty $P$ , $Q$ , $M$ leżą odpowiednio na półprostych $DC$ , $AD$ , $AB$ .