VIII OM - III - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

VIII OM, 1956-1957

Etap:

III

Dowieść, że między bokami $a$ , $b$ , $c$ i kątami przeciwległymi $A$ , $B$ , $C$ trójkąta zachodzi związek

$ (1) \qquad a^2 \cos^2 A = b^2 \cos^2 B + c^2 \cos^2 C + 2bc \cos B \cos C \cos 2A. $

Rozwiązanie

Podstawiając w równości (1)

$ (2) \qquad a =2R \sin A,\ b = 2R \sin B,\ c = 2 R \sin C $

( $R$ - promień koła opisanego na trójkącie) otrzymujemy po podzieleniu obu stron przez $R^2$ :

$ 4 \sin^2 A \cos^2 A = 4 \sin^2 B \cos^2 B + 4 \sin^2 C \cos^2 C + 8 \sin B \sin C \cos B \cos C \cos 2A \textrm{ lub krócej} $

$ (3) \qquad \sin^2 2A = \sin^2 2B + \sin^2 2C + 2 \sin 2B \sin 2C \cos 2A. $

Wystarczy uzasadnić wzór (3), gdyż wzór (1) wynika natychmiast ze wzorów (3) i (2). Przekształcimy prawą stronę wzoru (3)

$ \begin{split} & \sin^2 2B + \sin^2 2C + 2 \sin 2B \sin 2C \cos 2B \cos 2C - 2 \sin^2 2B \sin^2 2C = \\ & = \sin^2 2B (1 - \sin^2 2C) + \sin^2 2C (1 - \sin^2 2B) + 2 \sin 2B \sin 2C \cos 2B \cos 2C =\\ & = \sin^2 2B \cos^2 2C + \sin^2 2C \cos^2 2B + 2 \sin 2B \sin 2C \cos 2B \cos 2C =\\ & = (\sin 2B \cos 2C + \sin 2C \cos 2B)^2 = [(\sin (2B + 2C)]^2 = (\sin 2A)^2, \end{split} $

wzór (3) jest więc słuszny.