VIII OM - III - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

VIII OM, 1956-1957

Etap:

III

Dowieść, że jeżeli funkcja $ax^2 + bx + c$ przybiera wartość całkowitą dla każdej całkowitej wartości zmiennej $x$ , to $2a$ , $a + b$ , $c$ są liczbami całkowitymi i na odwrót.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że gdy liczba $x$ jest całkowita, to liczba $f (x) = ax^2 + bx + c$ też jest całkowita. Wówczas

1) $f (0) = c$ , więc $c$ jest liczbą całkowitą

2) $f (1) = a + b + c$ , stąd $a + b = f (1) - c$ , więc $a + b$ jest liczbą całkowitą

3) $f (2) = 4a + 2b + c$ , stąd $2a = f (2) - 2 (a + b) - c$ , więc $2a$ jest liczbą całkowitą.

Odwrotnie, gdy $2a$ , $a + b$ i $c$ są liczbami całkowitymi, to funkcja $ax^2 + bx + c$ ma dla każdego całkowitego $x$ wartość całkowitą. Istotnie

$<br /> ax^2 + bx + c = ax^2 - ax + ax + bx + c = ax (x - 1) + (a + b) x + c = 2a \cdot \frac{x(x-1)}{2} + (a + b) x + c.<br />$

Wartość $ax^2 + bx + c$ jest zatem równa sumie trzech liczb całkowitych (liczba $x (x - 1)$ jest przy całkowitym $x$ liczbą parzystą, gdyż jest iloczynem dwóch kolejnych liczb całkowitych).

Uwaga. Proponujemy czytelnikowi następujące ćwiczenie: Dowieść, że warunkiem koniecznym i dostatecznym do tego, aby funkcja $ax^3 + bx^2 + cx + d$ miała dla każdej całkowitej wartości $x$ wartość całkowitą, jest warunek żeby liczby $6a$ , $2b$ , $a + b + c$ i $d$ były całkowite.