VIII OM - III - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

VIII OM, 1956-1957

Etap:

III

Dowieść, że jeżeli $a \geq 0$ i $b \geq 0$ , to

$ (1) \qquad \sqrt{a^2 + b^2} \geq a + b - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{ab}. $

Rozwiązanie

Prawą stronę nierówności (1) można napisać w postaci $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 + \sqrt{2ab}$ , skąd widać, że jest ona liczbą nieujemną. Wobec tego podnosząc obie strony nierówności (1) do kwadratu otrzymujemy nierówność równoważną

$ (2) \qquad a^2 + b^2 \geq (a+b)^2 + (6-4\sqrt{2})ab - 2(2 - \sqrt{2})(a+b) \sqrt{ab}. $

Nierówności (2) można nadać postać

$ a^2 + b^2 \geq a^2 + b^2 + (2 - \sqrt{2}) \sqrt{ab} [4\sqrt{ab} - 2 ( a + b)] $

lub

$ (3) \qquad a^2 + b^2 \geq a^2 + b^2 - 2 (2 - \sqrt{2}) \sqrt{ab} (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2. $

Nierówność (3) jest oczywiście prawdziwa, zatem równoważna jej nierówność (1) jest też prawdziwa.